题目
【3】(2019数二)已知微分方程y''+ay'+by=ce^x的通解为y=(C_(1)+C_(2)x)e^-x+e^x，则a,b,c依次为（）.A. 1,0,1B. 1,0,2C. 2,1,3D. 2,1,4
【3】(2019数二)已知微分方程$y''+ay'+by=ce^{x}$的通解为$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-x}+e^{x}$，则a,b,c依次为（）.
A. 1,0,1
B. 1,0,2
C. 2,1,3
D. 2,1,4
题目解答
答案
D. 2,1,4
解析
步骤 1：确定齐次方程的特征根
由通解 $y = (C_1 + C_2 x)e^{-x} + e^x$，可知齐次方程的特征根为 $\lambda = -1$（二重根）。
步骤 2：写出特征方程
特征方程为 $(\lambda + 1)^2 = 0$，即 $\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0$。因此，$a = 2$，$b = 1$。
步骤 3：确定非齐次方程的特解
将特解 $y = e^x$ 代入原方程 $y'' + ay' + by = ce^x$，得 $e^x + ae^x + be^x = ce^x$，化简得 $c = 1 + a + b = 4$。
由通解 $y = (C_1 + C_2 x)e^{-x} + e^x$，可知齐次方程的特征根为 $\lambda = -1$（二重根）。
步骤 2：写出特征方程
特征方程为 $(\lambda + 1)^2 = 0$，即 $\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0$。因此，$a = 2$，$b = 1$。
步骤 3：确定非齐次方程的特解
将特解 $y = e^x$ 代入原方程 $y'' + ay' + by = ce^x$，得 $e^x + ae^x + be^x = ce^x$，化简得 $c = 1 + a + b = 4$。