6.设A=}1&1&4&52&1&1&13&2&2&10&0&3&1=____。

为了找到 $ A_{11} - A_{12} + A_{13} $ 的值，其中 $ A_{ij} $ 是矩阵 $ A $ 的行列式中 $(i,j)$-元的代数余子式，我们首先需要回忆代数余子式的定义。元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式 $ A_{ij} $ 由 $ A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $ 给出，其中 $ M_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的余子式，即从 $ A $ 中移除第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后得到的子矩阵的行列式。 给定矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} $，我们需要计算 $ A_{11} $，$ A_{12} $，和 $ A_{13} $。 1. 计算 $ A_{11} $： \[ A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = M_{11} \] 余子式 $ M_{11} $ 是从 $ A $ 中移除第一行和第一列后得到的子矩阵的行列式： \[ M_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} \] 我们可以沿第一行展开这个行列式： \[ M_{11} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + 1 \cdot (2 \cdot 3 - 2 \cdot 0) = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = -1 - 2 + 6 = 3 \] 因此，$ A_{11} = 3 $。 2. 计算 $ A_{12} $： \[ A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -M_{12} \] 余子式 $ M_{12} $ 是从 $ A $ 中移除第一行和第二列后得到的子矩阵的行列式： \[ M_{12} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} \] 我们可以沿第一行展开这个行列式： \[ M_{12} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot (3 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + 1 \cdot (3 \cdot 3 - 2 \cdot 0) = 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 9 = -2 - 3 + 9 = 4 \] 因此，$ A_{12} = -4 $。 3. 计算 $ A_{13} $： \[ A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = M_{13} \] 余子式 $ M_{13} $ 是从 $ A $ 中移除第一行和第三列后得到的子矩阵的行列式： \[ M_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \] 我们可以沿第三行展开这个行列式： \[ M_{13} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = 1 \cdot 1 = 1 \] 因此，$ A_{13} = 1 $。 现在，我们可以找到 $ A_{11} - A_{12} + A_{13} $ 的值： \[ A_{11} - A_{12} + A_{13} = 3 - (-4) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8 \] 因此，答案是 $\boxed{8}$。