设 A=} a_(11) & a_(12) & ... & a_(1n) a_(21) & a_(22) & ... & a_(2n) vdots & vdots & ... & vdots a_(n1) & a_(n2) & ... & a_(nn) =(1)/(|A|)A^*。以上 7 个命题中，正确的命题个数是（）A. 6B. 7C. 其他都不对D. 5
设 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$，记 $A^*=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}$，其中 $A_{ij}$ 是行列式 $|A|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，现有命题：(1) 当 $|A|\neq 0$ 时，有 $|A^*|=|A|^{n-1}$；(2) $AA^*=|A|E$；(3) $A^*A=|A|E$；(4) 设 $|A|\neq 0$，则 $(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$；(5) 设 $A$ 是可逆矩阵，则 $A^*=\left|A\right|A^{-1}$；(6) $A^*=\frac{|A|E}{A}$；(7) 设 $A$ 是可逆矩阵，则 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$。以上 7 个命题中，正确的命题个数是（） A. 6 B. 7 C. 其他都不对 D. 5
题目解答
答案
解析
本题考查矩阵的伴随矩阵、行列式以及矩阵运算的相关知识。解题思路是根据伴随矩阵的性质、行列式的运算法则以及矩阵运算的规则，对每个命题逐一进行分析判断。
命题(1)
当$\vert A\vert\neq 0$时，由$A^* = \vert A\vert A^{-1}$，根据行列式的性质$\vert kA\vert\vert = k^n\vert A\vert$（$k$为常数，$n$为矩阵的阶数），可得：
$\vert A^*\vert = \vert\vert A\vert A^{-1}\vert = \vert A\vert^n\vert A^{-1}\vert$
又因为$\vert A^{-1}\vert = \frac{1}{\vert A\vert}$，所以$\vert A^*\vert = \vert A\vert^n\cdot\frac{1}{\vert A\vert} = \vert A\vert^{n - 1}$，命题(1)正确。
命题(2)
根据伴随矩阵的性质，对于任意$n$阶矩阵$A$，都有$AA^* = \vert A\vert E$，其中$E$为$n$阶单位矩阵，命题(2)正确。
命题(3)
同理，对于任意$n$阶矩阵$A$，都有$A^*A = \vert A\vert E$，命题(3)正确。
命题(4)
对可逆矩阵$A$，有$A^* = \vert A\vert A^{-1}$，则$(A^*)^{-1} = (\vert A\vert A^{-1})^{-1}$
根据$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$（$k$为常数），可得$(A^*)^{-1} = \frac{1}{\vert A\vert}(A^{-1})^{-1} = \frac{1}{\vert A\vert}A$，命题(4)正确。
命题(5)
当$A$是可逆矩阵时，根据伴随矩阵的定义和性质，有$A^* = \vert A\vert A^{-1}$，命题(5)正确。
命题(6)
表达式$\frac{\vert A\vert E}{A}$无意义，因为矩阵除法未定义，命题(6)错误。
命题(7)
当$A$是可逆矩阵时，由$A^* = \vert A\vert A^{-1}$，两边同时乘以$\frac{1}{\vert A\vert}$，可得$A^{-1} = \frac{1}{\vert A\vert}A^*$，命题(7)正确。