题目
2.判断题(20分)若级数 sum _(n=1)^infty u_(n) 收敛， 则级数 sum _(n=1)^infty u_(2n) 也收敛()A 正确B 错误
2.判断题(20分)
若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛， 则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{2n}$ 也收敛()
A 正确
B 错误
题目解答
答案
为了判断题目中给出的陈述是否正确，我们需要分析级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的收敛性与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n}$ 的收敛性之间的关系。
已知：
- 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。
我们需要确定：
- 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n}$ 是否也收敛。
### 逐步分析
1. **理解级数：**
- 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 包括所有项 $u_1, u_2, u_3, u_4, \ldots$。
- 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n}$ 包括项 $u_2, u_4, u_6, \ldots$，即原级数中所有偶数下标的项。
2. **收敛性 criterion:**
- 一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，如果其部分和序列 $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ 当 $N \to \infty$ 时收敛到一个有限极限。
3. **级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n}$ 的部分和：**
- 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n}$ 的部分和为 $T_M = \sum_{n=1}^{M} u_{2n} = u_2 + u_4 + u_6 + \cdots + u_{2M}$。
4. **与原级数的关系：**
- 考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和 $S_{2M} = \sum_{n=1}^{2M} u_n = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \cdots + u_{2M-1} + u_{2M}$。
- 我们可以将 $S_{2M}$ 分解为偶数下标项和奇数下标项的和：
\[
S_{2M} = (u_1 + u_3 + u_5 + \cdots + u_{2M-1}) + (u_2 + u_4 + u_6 + \cdots + u_{2M})
\]
- 设 $R_M = u_1 + u_3 + u_5 + \cdots + u_{2M-1}$。那么：
\[
S_{2M} = R_M + T_M
\]
5. **收敛性 implications:**
- 由于 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，$S_{2M}$ 当 $M \to \infty$ 时收敛到一个有限极限，设为 $S$。
- 因此，$S_{2M} \to S$ 当 $M \to \infty$。
6. **$T_M$ 的行为：**
- 从 $S_{2M} = R_M + T_M$，我们得到：
\[
T_M = S_{2M} - R_M
\]
- 由于 $S_{2M}$ 收敛，为了使 $T_M$ 收敛，$R_M$ 也必须收敛。然而，没有关于 $u_n$ 的额外信息，我们不能保证 $R_M$ 收敛。
### 反例
为了说明 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n}$ 可以发散，即使 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，考虑以下级数：
\[
u_n = \frac{(-1)^n}{n}
\]
- 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ 是交错调和级数，已知收敛。
- 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n}}{2n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是调和级数的常数倍，已知发散。
### 结论
由于我们可以找到一个反例，其中 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛但 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n}$ 发散，陈述是错误的。
因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]