题目
一、单选题（共20题，40.0分） 题型说明：简单 13.（单选题，2.0分） x^3+ax^2+bx+c=0有三个根1，2，3，那么b=？（） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
一、单选题（共20题，40.0分） 题型说明：简单 13.（单选题，2.0分） $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$有三个根1，2，3，那么b=？（）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
题目解答
答案
根据根与系数的关系，对于多项式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$，其根为 $1, 2, 3$ 时，有：
1. 根两两乘积的和等于 $b$，即 $1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot1 = 2 + 6 + 3 = 11$。
或展开 $(x-1)(x-2)(x-3)$ 得：
\[
x^3 - 6x^2 + 11x - 6
\]
对应系数知 $b = 11$。
答案：$\boxed{C}$
解析
考查要点：本题主要考查三次方程的根与系数关系（韦达定理）的应用，以及多项式展开的基本方法。
解题核心思路：
已知三次方程的三个根，可以通过根与系数的关系直接计算系数$b$的值，或者通过展开因式分解形式的多项式来确定系数。
破题关键点：
- 韦达定理：对于三次方程$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$，若根为$r_1, r_2, r_3$，则根两两乘积的和$r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3$等于系数$b$。
- 因式分解展开法：将方程写成$(x-1)(x-2)(x-3)$的形式，展开后直接比较系数。
方法一：利用韦达定理
根据韦达定理，根与系数的关系为：
- 根两两乘积的和：$r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = b$
代入根$1, 2, 3$：
$1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 2 + 3 + 6 = 11$
因此，$b = 11$。
方法二：展开因式分解形式
将方程写成$(x-1)(x-2)(x-3)$，逐步展开：
- 展开前两个因式：
$(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ - 与第三个因式相乘：
$(x^2 - 3x + 2)(x-3) = x^3 - 3x^2 - 3x^2 + 9x + 2x - 6$ - 合并同类项：
$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
对应原方程$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$，可得$b = 11$。