级数sum_(n=1)^infty (2^n x^n)/(n)的收敛半径和收敛域分别是(）.A. (1)/(2), [-(1)/(2), (1)/(2))B. (1)/(2), (-(1)/(2), (1)/(2)]C. (1)/(2), (-(1)/(2), (1)/(2))D. 2, [-2, 2].

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛半径和收敛域的求解方法，涉及比值法求收敛半径以及端点处的级数收敛性判断。

解题核心思路：

1. 收敛半径：利用通项的比值法求极限，确定收敛半径$R$。
2. 收敛域：在收敛半径的基础上，分别代入端点$x = \pm R$，通过正项级数判别法和交错级数判别法判断端点处的收敛性。

破题关键点：

• 比值法求收敛半径时，注意化简极限表达式。
• 端点代入后，需准确判断级数类型（如调和级数、交错调和级数）并应用对应的判别方法。

1. 求收敛半径

设通项$a_n = \frac{2^n}{n}$，根据比值法：
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}/(n+1)}{2^n/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n+1} = 2$
因此，收敛半径为：
$R = \frac{1}{2}$

2. 确定收敛域

收敛区间初步为$(-R, R) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$，需检查端点：

• 当$x = \frac{1}{2}$时，级数变为：
  $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
  这是发散的调和级数，故$x = \frac{1}{2}$不包含在收敛域内。

• 当$x = -\frac{1}{2}$时，级数变为：
  $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$
  这是收敛的交错调和级数，故$x = -\frac{1}{2}$包含在收敛域内。

综上，收敛域为$\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$。