8-15 如图所示,在一根无限长载流直导线的近旁放置一个矩形导体线框.该线框在垂-|||-直于导线方向上以匀速率v向右移动求在图示位置处线框中的感应电动势的大小和方向.-|||-I-|||-l2 u-|||-d l1

步骤 1：确定磁场分布
无限长载流直导线产生的磁场分布可以用毕奥-萨伐尔定律计算，其磁场强度为：
\[ B = \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \]
其中，${\mu }_{0}$ 是真空磁导率，$I$ 是导线中的电流，$r$ 是到导线的距离。

步骤 2：计算线框中的感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，线框中的感应电动势 $\mathcal{E}$ 与线框所包围的磁通量变化率成正比。由于线框在垂直于导线方向上以匀速率 $v$ 向右移动，线框所包围的磁通量变化率可以表示为：
\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} \]
其中，$\Phi$ 是磁通量。由于线框的移动，磁通量的变化率可以表示为：
\[ \mathcal{E} = -\frac{d}{dt} \left( \int_{d}^{d+l_{1}} B(r) l_{2} dr \right) \]
代入磁场强度 $B(r)$ 的表达式，得到：
\[ \mathcal{E} = -\frac{d}{dt} \left( \int_{d}^{d+l_{1}} \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} l_{2} dr \right) \]
由于线框以匀速率 $v$ 向右移动，$d$ 随时间的变化率为 $v$，因此：
\[ \mathcal{E} = -\frac{d}{dt} \left( \frac{{\mu }_{0}I l_{2}}{2\pi} \ln \left( \frac{d+l_{1}}{d} \right) \right) \]
\[ \mathcal{E} = \frac{{\mu }_{0}I l_{2} v}{2\pi} \left( \frac{1}{d} - \frac{1}{d+l_{1}} \right) \]
\[ \mathcal{E} = \frac{{\mu }_{0}I l_{2} v}{2\pi} \left( \frac{d+l_{1} - d}{d(d+l_{1})} \right) \]
\[ \mathcal{E} = \frac{{\mu }_{0}I l_{2} v}{2\pi d(d+l_{1})} \]

步骤 3：确定感应电动势的方向
根据楞次定律，感应电动势的方向应使得感应电流产生的磁场与原磁场的变化趋势相反。由于线框向右移动，线框所包围的磁通量减少，因此感应电动势的方向应使得感应电流产生的磁场向左，即顺时针方向。