题目

31 (2021山东高数二)求不定积分int(sin^2xcosx)/(1+4sin^2)xdx.

31 (2021山东高数二)求不定积分$\int\frac{\sin^{2}xcosx}{1+4\sin^{2}x}dx$.

题目解答

答案

令 $u = \sin x$，则 $du = \cos x \, dx$。代入原积分得 \[ \int \frac{\sin^2 x \cos x}{1 + 4\sin^2 x} \, dx = \int \frac{u^2}{1 + 4u^2} \, du. \] 将被积函数分解为 \[ \frac{u^2}{1 + 4u^2} = \frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{1 + 4u^2}\right). \] 分别积分得 \[ \int \frac{u^2}{1 + 4u^2} \, du = \frac{1}{4} \left(u - \frac{1}{2} \arctan(2u)\right) + C. \] 代回 $u = \sin x$，得 \[ \boxed{\frac{1}{4} \sin x - \frac{1}{8} \arctan(2 \sin x) + C}. \] （或等价表示：$\boxed{\frac{1}{4} \left(\sin x - \frac{1}{2} \arctan(2 \sin x)\right) + C}$）

解析

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及有理函数的积分和变量代换法的应用。

解题核心思路：

  1. 观察被积函数结构：分子为$\sin^2x \cos x$，分母为$1 + 4\sin^2x$，分子中的$\cos x \, dx$提示可进行$u$代换（令$u = \sin x$）。
  2. 简化积分形式：通过代换将原积分转化为关于$u$的有理分式积分，再通过分式分解将复杂分式拆分为简单分式的组合，便于逐项积分。
  3. 反三角函数积分：处理形如$\frac{1}{1 + a^2u^2}$的积分时，需利用标准积分公式$\int \frac{1}{1 + a^2u^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan(au) + C$。

破题关键点：

  • 正确选择代换变量：利用$\sin x$的导数$\cos x$简化积分。
  • 分式分解技巧：将$\frac{u^2}{1 + 4u^2}$拆分为常数与简单分式的组合，降低积分难度。

步骤1：变量代换
令$u = \sin x$，则$du = \cos x \, dx$，原积分变为：
$\int \frac{u^2}{1 + 4u^2} \, du.$

步骤2：分式分解
将被积函数拆分为：
$\frac{u^2}{1 + 4u^2} = \frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{1 + 4u^2}\right).$

步骤3：逐项积分
分别对两部分积分：

  1. 第一部分：
    $\int \frac{1}{4} \, du = \frac{1}{4}u.$
  2. 第二部分：
    $-\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4u^2} \, du = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \arctan(2u) = -\frac{1}{8} \arctan(2u).$

步骤4：代回原变量
将$u = \sin x$代入，得到最终结果：
$\frac{1}{4} \sin x - \frac{1}{8} \arctan(2 \sin x) + C.$