题目

计算三重积分 iiint_(Omega) x , dx , dy , dz，其中 Omega 是由锥面 z = (h)/(R) sqrt(x^2 + y^2) 及平面 z = h (其中 R > 0, h > 0 且为常数)所围成的闭区域() A. 2B. 4C. 6D. 0

计算三重积分 $\iiint_{\Omega} x \, dx \, dy \, dz$，其中 $\Omega$ 是由锥面 $z = \frac{h}{R} \sqrt{x^2 + y^2}$ 及平面 $z = h$ (其中 $R > 0, h > 0$ 且为常数)所围成的闭区域()

  • A. 2
  • B. 4
  • C. 6
  • D. 0

题目解答

答案

为了计算三重积分$\iiint\limits_{\partial} x \, dx \, dy \, dz$，其中$\partial$是由锥面$z = \frac{h}{R} \sqrt{x^2 + y^2}$和平面$z = h$所围成的闭区域，我们可以使用柱坐标系。在柱坐标系中，变量$x$，$y$和$z$分别表示为$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$和$z = z$。 区域$\partial$在柱坐标系中描述如下： - 半径$r$从0变化到$R$（因为当$z = h$时，锥面$z = \frac{h}{R} \sqrt{x^2 + y^2}$给出$h = \frac{h}{R} r \Rightarrow r = R$）。 - 角度$\theta$从$0$变化到$2\pi$。 - 高度$z$从锥面$z = \frac{h}{R} r$变化到平面$z = h$。 在柱坐标系中，三重积分变为： \[ \iiint\limits_{\partial} x \, dx \, dy \, dz = \int_0^{2\pi} \int_0^R \int_{\frac{h}{R} r}^h (r \cos \theta) \, r \, dz \, dr \, d\theta. \] 这里，额外的因子$r$来自柱坐标系中的体积元素$dx \, dy \, dz = r \, dr \, d\theta \, dz$。 我们可以将积分分解为三个部分： \[ \int_0^{2\pi} \cos \theta \, d\theta \int_0^R r^2 \, dr \int_{\frac{h}{R} r}^h dz. \] 首先，我们计算关于$z$的最内层积分： \[ \int_{\frac{h}{R} r}^h dz = h - \frac{h}{R} r = h \left(1 - \frac{r}{R}\right). \] 接下来，我们将这个结果代入$r$的积分中： \[ \int_0^R r^2 \cdot h \left(1 - \frac{r}{R}\right) \, dr = h \int_0^R \left(r^2 - \frac{r^3}{R}\right) \, dr. \] 我们可以将这个积分分解为两个独立的积分： \[ h \left( \int_0^R r^2 \, dr - \frac{1}{R} \int_0^R r^3 \, dr \right) = h \left( \left. \frac{r^3}{3} \right|_0^R - \frac{1}{R} \left. \frac{r^4}{4} \right|_0^R \right) = h \left( \frac{R^3}{3} - \frac{1}{R} \cdot \frac{R^4}{4} \right) = h \left( \frac{R^3}{3} - \frac{R^3}{4} \right) = h \cdot \frac{R^3}{12} = \frac{h R^3}{12}. \] 最后，我们将这个结果代入关于$\theta$的积分中： \[ \int_0^{2\pi} \cos \theta \, d\theta \cdot \frac{h R^3}{12} = \left. \sin \theta \right|_0^{2\pi} \cdot \frac{h R^3}{12} = (0 - 0) \cdot \frac{h R^3}{12} = 0. \] 因此，三重积分的值是$\boxed{0}$。正确答案是$\boxed{D}$。

解析

考查要点：本题主要考查三重积分在柱坐标系下的计算，以及利用对称性简化积分的能力。

解题核心思路：

  1. 选择合适坐标系：由于积分区域由锥面和平面围成，具有旋转对称性，选择柱坐标系（$r$-$\theta$-$z$）更便于描述区域和简化积分。
  2. 分析积分区域：锥面方程转换为柱坐标后，$z = \frac{h}{R}r$，平面$z=h$与锥面相交于$r=R$，积分区域为$\theta \in [0, 2\pi]$，$r \in [0, R]$，$z \in [\frac{h}{R}r, h]$。
  3. 观察被积函数对称性：被积函数$x$在柱坐标系中为$r\cos\theta$，而积分区域关于$\theta$对称。$\cos\theta$在$0$到$2\pi$的积分结果为零，因此整个三重积分值为零。

步骤1：转换坐标系与积分区域描述

在柱坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元素为$dx\,dy\,dz = r\,dz\,dr\,d\theta$。
积分区域$\Omega$的描述为：

  • $\theta$：$0$到$2\pi$
  • $r$：$0$到$R$
  • $z$：$\frac{h}{R}r$到$h$

步骤2：建立积分表达式

三重积分转换为：
$\iiint_{\Omega} x \, dx\,dy\,dz = \int_0^{2\pi} \int_0^R \int_{\frac{h}{R}r}^h (r\cos\theta) \cdot r \, dz\,dr\,d\theta$

步骤3：分步计算积分

  1. 对$z$积分：
    $\int_{\frac{h}{R}r}^h dz = h - \frac{h}{R}r = h\left(1 - \frac{r}{R}\right)$

  2. 对$r$积分：
    $\int_0^R r^2 \cdot h\left(1 - \frac{r}{R}\right) \, dr = h \int_0^R \left(r^2 - \frac{r^3}{R}\right) \, dr = h \left[\frac{R^3}{3} - \frac{R^3}{4}\right] = \frac{hR^3}{12}$

  3. 对$\theta$积分：
    $\int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = 0$

步骤4：综合结果

最终积分值为：
$\frac{hR^3}{12} \cdot 0 = 0$