题目

13:42 12月19日周五 11 01:29:36 填空题 1.已知 y=(x^2+1)^x, 则 dy mid _(x=1)= _. (3分) 请输入内容或上传图片… 1-

13:42 12月19日周五 11 01:29:36 填空题 1.已知 y=(x^{2}+1)^{x}, 则 dy \mid _{x=1}= \ _. (3分) 请输入内容或上传图片… 1-

题目解答

答案

对 $ y = (x^2 + 1)^x $，取对数得 $ \ln y = x \ln(x^2 + 1) $。
对 $ x $ 求导得：
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}$
解得：
$\frac{dy}{dx} = y \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} \right)$
当 $ x = 1 $ 时，$ y = 2 $，代入得：
$\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=1} = 2 \left( \ln 2 + 1 \right) = 2 + 2 \ln 2$
因此，$ dy \bigg|_{x=1} = (2 + 2 \ln 2) \, dx $。

答案： $\boxed{(2 + 2 \ln 2) \, dx}$（或$\boxed{2(1 + \ln 2) \, dx}$）

解析

本题考查复合函数求导以及微分的计算。解题思路是先对给定的函数$y=(x^{2}+1)^{x}$两边取自然对数，将幂指函数转化为便于求导的形式，然后对等式两边关于$x$求导，求出$\frac{dy}{dx}$的表达式，再将$x = 1$代入求出$\frac{dy}{dx}\big|_{x = 1}$的值，最后根据微分的定义$dy=\frac{dy}{dx}dx$得到$dy\big|_{x = 1}$。

  1. 对函数两边取自然对数：
    已知$y=(x^{2}+1)^{x}$，两边取自然对数可得$\ln y = \ln(x^{2}+1)^{x}$。
    根据对数运算法则$\ln a^b = b\ln a$，则$\ln y = x\ln(x^{2}+1)$。
  2. 等式两边对$x$求导：
    等式左边$(\ln y)'$，根据复合函数求导法则，令$u = y$，则$(\ln y)'=\frac{1}{y}\cdot y'$，即$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$。
    等式右边$(x\ln(x^{2}+1))'$，根据乘积的求导法则$(uv)' = u'v + uv'$，其中$u = x$，$v = \ln(x^{2}+1)$。
    • $u'=(x)' = 1$。
    • $v' = (\ln(x^{2}+1))'$，令$t = x^{2}+1$，则$v = \ln t$，根据复合函数求导法则$v'=\frac{1}{t}\cdot t'=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+1}$。
      所以$(x\ln(x^{2}+1))' = 1\times\ln(x^{2}+1)+x\times\frac{2x}{x^{2}+1}=\ln(x^{2}+1)+\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}$。
      则$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln(x^{2}+1)+\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}$。
  3. 求解$\frac{dy}{dx}$：
    等式两边同时乘以$y$，可得$\frac{dy}{dx}=y\left(\ln(x^{2}+1)+\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}\right)$。
  4. 计算$x = 1$时$\frac{dy}{dx}$的值：
    当$x = 1$时，$y=(1^{2}+1)^{1}=2$。
    将$x = 1$，$y = 2$代入$\frac{dy}{dx}=y\left(\ln(x^{2}+1)+\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}\right)$可得：
    $\frac{dy}{dx}\big|_{x = 1}=2\left(\ln(1^{2}+1)+\frac{2\times1^{2}}{1^{2}+1}\right)=2(\ln 2 + 1)=2 + 2\ln 2$。
  5. 计算$dy\big|_{x = 1}$：
    根据微分的定义$dy=\frac{dy}{dx}dx$，所以$dy\big|_{x = 1}=(2 + 2\ln 2)dx$。