题目
现干.-|||-8.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各为-|||-多少? y
题目解答
答案
解:最大为1,说明每球进不同杯子 P_{1}=\\frac{4 \\times 3 \\times 2}{4 \\times 4 \\times 4}=\\frac{3}{8} 最大为2,相当于两个球那在一起 P_{2}=\\frac{C_{3}^{2}\\times 4 \\times 3}{4 \\times 4 \\times 4}=\\frac{9}{16}. 最大为3.相当于三个球绑在一起 P_{3}=\\frac{C_{3}^{3}\\times 4}{4 \\times 4 \\times 4}=\\frac{1}{16}
解析
步骤 1：计算杯子中球的最大个数为1的概率
- 3个球放入4个杯子中，每个球有4种选择，所以总共有\(4^3\)种放法。
- 如果杯子中球的最大个数为1，说明每个球都放在不同的杯子中，即第一个球有4种选择，第二个球有3种选择，第三个球有2种选择，所以有\(4 \times 3 \times 2\)种放法。
- 因此，杯子中球的最大个数为1的概率为\(P_{1} = \frac{4 \times 3 \times 2}{4^3} = \frac{24}{64} = \frac{3}{8}\)。
步骤 2：计算杯子中球的最大个数为2的概率
- 如果杯子中球的最大个数为2，说明有2个球放在同一个杯子中，另一个球放在另一个杯子中。
- 选择2个球放在同一个杯子中的方法有\(C_{3}^{2}\)种，选择这个杯子的方法有4种，剩下的一个球有3种选择，所以有\(C_{3}^{2} \times 4 \times 3\)种放法。
- 因此，杯子中球的最大个数为2的概率为\(P_{2} = \frac{C_{3}^{2} \times 4 \times 3}{4^3} = \frac{3 \times 4 \times 3}{64} = \frac{36}{64} = \frac{9}{16}\)。
步骤 3：计算杯子中球的最大个数为3的概率
- 如果杯子中球的最大个数为3，说明3个球都放在同一个杯子中。
- 选择这个杯子的方法有4种，所以有\(C_{3}^{3} \times 4\)种放法。
- 因此，杯子中球的最大个数为3的概率为\(P_{3} = \frac{C_{3}^{3} \times 4}{4^3} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}\)。
- 3个球放入4个杯子中，每个球有4种选择，所以总共有\(4^3\)种放法。
- 如果杯子中球的最大个数为1，说明每个球都放在不同的杯子中，即第一个球有4种选择，第二个球有3种选择，第三个球有2种选择，所以有\(4 \times 3 \times 2\)种放法。
- 因此，杯子中球的最大个数为1的概率为\(P_{1} = \frac{4 \times 3 \times 2}{4^3} = \frac{24}{64} = \frac{3}{8}\)。
步骤 2：计算杯子中球的最大个数为2的概率
- 如果杯子中球的最大个数为2，说明有2个球放在同一个杯子中，另一个球放在另一个杯子中。
- 选择2个球放在同一个杯子中的方法有\(C_{3}^{2}\)种，选择这个杯子的方法有4种，剩下的一个球有3种选择，所以有\(C_{3}^{2} \times 4 \times 3\)种放法。
- 因此，杯子中球的最大个数为2的概率为\(P_{2} = \frac{C_{3}^{2} \times 4 \times 3}{4^3} = \frac{3 \times 4 \times 3}{64} = \frac{36}{64} = \frac{9}{16}\)。
步骤 3：计算杯子中球的最大个数为3的概率
- 如果杯子中球的最大个数为3，说明3个球都放在同一个杯子中。
- 选择这个杯子的方法有4种，所以有\(C_{3}^{3} \times 4\)种放法。
- 因此，杯子中球的最大个数为3的概率为\(P_{3} = \frac{C_{3}^{3} \times 4}{4^3} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}\)。