题目
已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
题目解答
答案
解：（1）点$F（0，\frac{p}{2}）$到圆M上的点的距离的最小值为$|FM|-1=\frac{p}{2}+4-1=4$，解得p=2；
（2）由（1）知，抛物线的方程为x2=4y，即$y=\frac{1}{4}{x}^{2}$，则${y}'=\frac{1}{2}x$，
设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则易得${l}_{PA}：y=\frac{{x}_{1}}{2}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}，{l}_{PB}：y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$，从而得到$P（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}）$，
设lAB：y=kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2-4kx-4b=0，
∴△=16k2+16b＞0，即k2+b＞0，且x1+x2=4k，x1x2=-4b，
∴P（2k，-b），
∵$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{16{k}^{2}+16b}$，${d}_{p→AB}=\frac{|2{k}^{2}+2b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}|AB|d=4（{k}^{2}+b）^{\frac{3}{2}}$①，
又点P（2k，-b）在圆M：x2+（y+4）2=1上，故${k}^{2}=\frac{1-（b-4）^{2}}{4}$，代入①得，${S}_{△PAB}=4（\frac{-{b}^{2}+12b-15}{4}）^{\frac{3}{2}}$，
而yp=-b∈[-5，-3]，
∴当b=5时，$（{S}_{△PAB}）_{max}=20\sqrt{5}$．
（2）由（1）知，抛物线的方程为x2=4y，即$y=\frac{1}{4}{x}^{2}$，则${y}'=\frac{1}{2}x$，
设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则易得${l}_{PA}：y=\frac{{x}_{1}}{2}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}，{l}_{PB}：y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$，从而得到$P（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}）$，
设lAB：y=kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2-4kx-4b=0，
∴△=16k2+16b＞0，即k2+b＞0，且x1+x2=4k，x1x2=-4b，
∴P（2k，-b），
∵$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{16{k}^{2}+16b}$，${d}_{p→AB}=\frac{|2{k}^{2}+2b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}|AB|d=4（{k}^{2}+b）^{\frac{3}{2}}$①，
又点P（2k，-b）在圆M：x2+（y+4）2=1上，故${k}^{2}=\frac{1-（b-4）^{2}}{4}$，代入①得，${S}_{△PAB}=4（\frac{-{b}^{2}+12b-15}{4}）^{\frac{3}{2}}$，
而yp=-b∈[-5，-3]，
∴当b=5时，$（{S}_{△PAB}）_{max}=20\sqrt{5}$．