题目

桂林电子科技大学继续教育学院《高等数学I》202...37/41（填空题，5分）曲线y=x^3在点（1，1）处的切线的斜率是____。

桂林电子科技大学继续教育学院《高等数学I》202...37/41 （填空题，5分）曲线$y=x^{3}$在点（1，1）处的切线的斜率是____。

题目解答

答案

为了求曲线 $ y = x^3 $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线的斜率，我们需要计算函数 $ y = x^3 $ 在 $ x = 1 $ 处的导数。导数的值表示曲线在该点的切线的斜率。 首先，我们求函数 $ y = x^3 $ 的导数。根据幂函数的求导法则， $ (x^n)' = nx^{n-1} $，我们得到： \[ y' = 3x^2 \] 接下来，我们将 $ x = 1 $ 代入导数中，以求得点 $ (1,1) $ 处的切线斜率： \[ y' \bigg|_{x=1} = 3 \cdot 1^2 = 3 \] 因此，曲线 $ y = x^3 $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线的斜率是 $\boxed{3}$。

解析

本题考察导数的几何意义：函数在某点处的导数即为该点处切线的斜率。解题步骤为：先对函数$y = x^3$求导，再将切点的横坐标$x=1$代入导数表达式，得到的结果即为切线斜率。

  1. 求导：根据幂函数求导法则$(x^n)' = nx^{n-1}$，对$y = x^3$求导得$y' = 3x^2$。

  2. 代入切点横坐标：** 将$x=1$代入导数$y' = 3x^2$，得$y'\big|_{x=1}=3\times1^2=3$。