题目
设A为n阶矩阵,A经过若干次初等变换后得到矩阵B,则A. 必有|A|=|B|.B. 必确|A|≠|B|.C. 若|A|=0,则必有|B|=0.D. 若|A|>0,则必有|B|>0.
设A为n阶矩阵,A经过若干次初等变换后得到矩阵B,则
A. 必有|A|=|B|.
B. 必确|A|≠|B|.
C. 若|A|=0,则必有|B|=0.
D. 若|A|>0,则必有|B|>0.
题目解答
答案
C. 若|A|=0,则必有|B|=0.
解析
步骤 1:理解初等变换对行列式的影响
初等变换包括三种类型:交换两行(或列),将某一行(或列)乘以一个非零常数,将某一行(或列)的倍数加到另一行(或列)上。前两种变换会改变行列式的值,而第三种变换不会改变行列式的值。
步骤 2:分析选项A
选项A说必有|A|=|B|,这是不正确的,因为交换两行(或列)会改变行列式的符号,将某一行(或列)乘以一个非零常数会改变行列式的值。
步骤 3:分析选项B
选项B说必有|A|≠|B|,这也是不正确的,因为如果A经过若干次初等变换后得到的B是通过第三种变换得到的,那么|A|=|B|。
步骤 4:分析选项C
选项C说若|A|=0,则必有|B|=0,这是正确的。因为如果A的行列式为0,那么A是奇异矩阵,即A不可逆。经过初等变换后得到的B也是奇异矩阵,即B不可逆,因此|B|=0。
步骤 5:分析选项D
选项D说若|A|>0,则必有|B|>0,这是不正确的。因为如果A经过交换两行(或列)的变换得到B,那么|B|=-|A|<0。
初等变换包括三种类型:交换两行(或列),将某一行(或列)乘以一个非零常数,将某一行(或列)的倍数加到另一行(或列)上。前两种变换会改变行列式的值,而第三种变换不会改变行列式的值。
步骤 2:分析选项A
选项A说必有|A|=|B|,这是不正确的,因为交换两行(或列)会改变行列式的符号,将某一行(或列)乘以一个非零常数会改变行列式的值。
步骤 3:分析选项B
选项B说必有|A|≠|B|,这也是不正确的,因为如果A经过若干次初等变换后得到的B是通过第三种变换得到的,那么|A|=|B|。
步骤 4:分析选项C
选项C说若|A|=0,则必有|B|=0,这是正确的。因为如果A的行列式为0,那么A是奇异矩阵,即A不可逆。经过初等变换后得到的B也是奇异矩阵,即B不可逆,因此|B|=0。
步骤 5:分析选项D
选项D说若|A|>0,则必有|B|>0,这是不正确的。因为如果A经过交换两行(或列)的变换得到B,那么|B|=-|A|<0。