题目
8.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积:-|||-(1) rho =3cos theta 及 rho =1+cos theta ;-|||-(2) rho =sqrt (2)sin theta 及 (rho )^2=cos 2theta ..
.
题目解答
答案
(1)由曲线方程可得两曲线的交点为
，由于图形关于极轴对称，所以公共部分的面积是极轴上面部分面积的2倍，进而就可以求出面积式子
（2）首先求出两曲线的交点
，然后根据图形的对称性，可以得出公共部分的面积
解析
步骤 1：求解曲线交点
对于曲线 $\rho =3\cos \theta $ 和 $\rho =1+\cos \theta $，我们首先需要找到它们的交点。将两个方程设置为相等，得到 $3\cos \theta =1+\cos \theta $，解得 $\cos \theta =\dfrac {1}{2}$，因此 $\theta =\pm \dfrac {\pi }{3}$。将 $\theta =\dfrac {\pi }{3}$ 代入任一方程，得到 $\rho =\dfrac {3}{2}$。因此，交点为 $(\dfrac {3}{2},\dfrac {\pi }{3})$ 和 $(\dfrac {3}{2},-\dfrac {\pi }{3})$。
步骤 2：计算面积
由于图形关于极轴对称，所以公共部分的面积是极轴上面部分面积的2倍。因此，面积为
$[ {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}\dfrac {1}{2}{(1+\cos \theta )}^{2}d\theta +{\int }_{\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {1}{2}{(3\cos \theta )}^{2}d\theta ] $
$=\dfrac {5\pi }{4}$
步骤 3：求解曲线交点
对于曲线 $\rho =\sqrt {2}\sin \theta $ 和 ${\rho }^{2}=\cos 2\theta $，我们首先需要找到它们的交点。将两个方程设置为相等，得到 ${(\sqrt {2}\sin \theta )}^{2}=\cos 2\theta $，解得 $\sin ^{2}\theta =\dfrac {1}{2}$，因此 $\theta =\dfrac {\pi }{6}$ 或 $\theta =\dfrac {5\pi }{6}$。将 $\theta =\dfrac {\pi }{6}$ 代入任一方程，得到 $\rho =\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。因此，交点为 $(\dfrac {\sqrt {2}}{2},\dfrac {\pi }{6})$ 和 $(\dfrac {\sqrt {2}}{2},\dfrac {5\pi }{6})$。
步骤 4：计算面积
由于图形的对称性，公共部分的面积为
$[ {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{6}}\dfrac {1}{2}{(\sqrt {2}\sin \theta )}^{2}d\theta +{\int }_{\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {\pi }{4}}\dfrac {1}{2}\cos 2\theta d\theta ] $
$=\dfrac {\pi }{6}+\dfrac {1-\sqrt {3}}{2}$
对于曲线 $\rho =3\cos \theta $ 和 $\rho =1+\cos \theta $，我们首先需要找到它们的交点。将两个方程设置为相等，得到 $3\cos \theta =1+\cos \theta $，解得 $\cos \theta =\dfrac {1}{2}$，因此 $\theta =\pm \dfrac {\pi }{3}$。将 $\theta =\dfrac {\pi }{3}$ 代入任一方程，得到 $\rho =\dfrac {3}{2}$。因此，交点为 $(\dfrac {3}{2},\dfrac {\pi }{3})$ 和 $(\dfrac {3}{2},-\dfrac {\pi }{3})$。
步骤 2：计算面积
由于图形关于极轴对称，所以公共部分的面积是极轴上面部分面积的2倍。因此，面积为
$[ {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}\dfrac {1}{2}{(1+\cos \theta )}^{2}d\theta +{\int }_{\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {1}{2}{(3\cos \theta )}^{2}d\theta ] $
$=\dfrac {5\pi }{4}$
步骤 3：求解曲线交点
对于曲线 $\rho =\sqrt {2}\sin \theta $ 和 ${\rho }^{2}=\cos 2\theta $，我们首先需要找到它们的交点。将两个方程设置为相等，得到 ${(\sqrt {2}\sin \theta )}^{2}=\cos 2\theta $，解得 $\sin ^{2}\theta =\dfrac {1}{2}$，因此 $\theta =\dfrac {\pi }{6}$ 或 $\theta =\dfrac {5\pi }{6}$。将 $\theta =\dfrac {\pi }{6}$ 代入任一方程，得到 $\rho =\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。因此，交点为 $(\dfrac {\sqrt {2}}{2},\dfrac {\pi }{6})$ 和 $(\dfrac {\sqrt {2}}{2},\dfrac {5\pi }{6})$。
步骤 4：计算面积
由于图形的对称性，公共部分的面积为
$[ {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{6}}\dfrac {1}{2}{(\sqrt {2}\sin \theta )}^{2}d\theta +{\int }_{\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {\pi }{4}}\dfrac {1}{2}\cos 2\theta d\theta ] $
$=\dfrac {\pi }{6}+\dfrac {1-\sqrt {3}}{2}$