题目
设f(x)在[-2.0]上二阶可导，且f(-1)=f(0)，证明：至少∃ ξ ∈(-2,0),使得(ξ+ 2)f"(ξ)+f'(ξ)=0
设f(x)在[-2.0]上二阶可导，且f(-1)=f(0)，证明：至少∃ ξ ∈(-2,0),使得(ξ+ 2)f"(ξ)+f'(ξ)=0
题目解答
答案
证：至少∃ ξ ∈(-2,0),使得(ξ+ 2)f"(ξ)+f'(ξ)=0
∵f(-1)=f(0)，根据罗尔定理，存在一点c∈（-1,0），使得f'(c)=0.
设F(x) = (x+2)f'(x)
则F'(x)=(x+2)f''(x)+f'(x)
∵F(-2)=(-2+2)f'(-2)=0，F(c)=(c+2)f'(c)=0
∴F(-2)=F(c)
根据罗尔定理，存在一点ξ∈(-2,c) ∈(-2,0)，使得F'(ξ)=0
即(ξ+ 2)f"(ξ)+f'(ξ)=0
解析
步骤 1：应用罗尔定理
由于f(x)在[-2,0]上二阶可导，且f(-1)=f(0)，根据罗尔定理，存在一点c∈（-1,0），使得f'(c)=0.
步骤 2：构造辅助函数
设F(x) = (x+2)f'(x)，则F'(x)=(x+2)f''(x)+f'(x).
步骤 3：应用罗尔定理于辅助函数
由于F(-2)=(-2+2)f'(-2)=0，F(c)=(c+2)f'(c)=0，根据罗尔定理，存在一点ξ∈(-2,c) ∈(-2,0)，使得F'(ξ)=0.
由于f(x)在[-2,0]上二阶可导，且f(-1)=f(0)，根据罗尔定理，存在一点c∈（-1,0），使得f'(c)=0.
步骤 2：构造辅助函数
设F(x) = (x+2)f'(x)，则F'(x)=(x+2)f''(x)+f'(x).
步骤 3：应用罗尔定理于辅助函数
由于F(-2)=(-2+2)f'(-2)=0，F(c)=(c+2)f'(c)=0，根据罗尔定理，存在一点ξ∈(-2,c) ∈(-2,0)，使得F'(ξ)=0.