题目
10.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:-|||-(1)设 , dfrac {dx)(dx) ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：对第一个方程求导
对 $z = x^2 + y^2$ 关于 $x$ 求导，得到 $\dfrac{dz}{dx} = 2x + 2y\dfrac{dy}{dx}$。
步骤 2：对第二个方程求导
对 ${x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}=20$ 关于 $x$ 求导，得到 $2x + 4y\dfrac{dy}{dx} + 6z\dfrac{dz}{dx} = 0$。
步骤 3：代入 $\dfrac{dz}{dx}$ 并解方程
将 $\dfrac{dz}{dx} = 2x + 2y\dfrac{dy}{dx}$ 代入 $2x + 4y\dfrac{dy}{dx} + 6z(2x + 2y\dfrac{dy}{dx}) = 0$，得到 $2x + 4y\dfrac{dy}{dx} + 12zx + 12zy\dfrac{dy}{dx} = 0$。
步骤 4：整理方程求解 $\dfrac{dy}{dx}$
整理得到 $4y\dfrac{dy}{dx} + 12zy\dfrac{dy}{dx} = -2x - 12zx$，即 $\dfrac{dy}{dx}(4y + 12zy) = -2x(1 + 6z)$，从而 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x(1 + 6z)}{4y(1 + 3z)} = -\dfrac{x(6z + 1)}{2y(3z + 1)}$。
步骤 5：求 $\dfrac{dz}{dx}$
由 $\dfrac{dz}{dx} = 2x + 2y\dfrac{dy}{dx}$，代入 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x(6z + 1)}{2y(3z + 1)}$，得到 $\dfrac{dz}{dx} = 2x - 2y\dfrac{x(6z + 1)}{2y(3z + 1)} = 2x - \dfrac{x(6z + 1)}{3z + 1} = \dfrac{2x(3z + 1) - x(6z + 1)}{3z + 1} = \dfrac{x}{3z + 1}$。
对 $z = x^2 + y^2$ 关于 $x$ 求导，得到 $\dfrac{dz}{dx} = 2x + 2y\dfrac{dy}{dx}$。
步骤 2：对第二个方程求导
对 ${x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}=20$ 关于 $x$ 求导，得到 $2x + 4y\dfrac{dy}{dx} + 6z\dfrac{dz}{dx} = 0$。
步骤 3：代入 $\dfrac{dz}{dx}$ 并解方程
将 $\dfrac{dz}{dx} = 2x + 2y\dfrac{dy}{dx}$ 代入 $2x + 4y\dfrac{dy}{dx} + 6z(2x + 2y\dfrac{dy}{dx}) = 0$，得到 $2x + 4y\dfrac{dy}{dx} + 12zx + 12zy\dfrac{dy}{dx} = 0$。
步骤 4：整理方程求解 $\dfrac{dy}{dx}$
整理得到 $4y\dfrac{dy}{dx} + 12zy\dfrac{dy}{dx} = -2x - 12zx$，即 $\dfrac{dy}{dx}(4y + 12zy) = -2x(1 + 6z)$，从而 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x(1 + 6z)}{4y(1 + 3z)} = -\dfrac{x(6z + 1)}{2y(3z + 1)}$。
步骤 5：求 $\dfrac{dz}{dx}$
由 $\dfrac{dz}{dx} = 2x + 2y\dfrac{dy}{dx}$，代入 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x(6z + 1)}{2y(3z + 1)}$，得到 $\dfrac{dz}{dx} = 2x - 2y\dfrac{x(6z + 1)}{2y(3z + 1)} = 2x - \dfrac{x(6z + 1)}{3z + 1} = \dfrac{2x(3z + 1) - x(6z + 1)}{3z + 1} = \dfrac{x}{3z + 1}$。