题目
设二重积分I= int (x+y+2)dx-|||-D ，估计I= int (x+y+2)dx-|||-D的值I= int (x+y+2)dx-|||-D，其中 I= int (x+y+2)dx-|||-DA、 I= int (x+y+2)dx-|||-D B、 I= int (x+y+2)dx-|||-DC、 I= int (x+y+2)dx-|||-DD、 I= int (x+y+2)dx-|||-D
设二重积分
，估计
的值
，其中 
A、 
B、 
C、 
D、 
题目解答
答案
答案：选B
由题意，已知：
∵在积分区域 中
∴
∴根据 二重积分的保号性，得
对于
然后将求得的代回上述的不等式，得
即
解析
步骤 1：确定积分区域D的范围
根据题目，积分区域D定义为$D=\{ (x,y)\quad (0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 2\} $，即x的取值范围是[0,1]，y的取值范围是[0,2]。
步骤 2：确定被积函数的范围
在积分区域D中，$0\leqslant x\leqslant 1$，$0\leqslant y\leqslant 2$，因此$x+y$的取值范围是$0\leqslant x+y\leqslant 3$。所以$x+y+2$的取值范围是$2\leqslant x+y+2\leqslant 5$。
步骤 3：利用二重积分的保号性
根据二重积分的保号性，如果$f(x,y)\leqslant g(x,y)$，则$\iint_{D}f(x,y)dxdy\leqslant \iint_{D}g(x,y)dxdy$。因此，$2\leqslant x+y+2\leqslant 5$，则$2\iint_{D}dxdy\leqslant \iint_{D}(x+y+2)dxdy\leqslant 5\iint_{D}dxdy$。
步骤 4：计算积分区域D的面积
积分区域D的面积为$S=\iint_{D}dxdy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}dxdy=(1-0)\times(2-0)=2$。
步骤 5：代入面积计算二重积分的范围
将面积S=2代入步骤3中的不等式，得到$2\times2\leqslant \iint_{D}(x+y+2)dxdy\leqslant 5\times2$，即$4\leqslant \iint_{D}(x+y+2)dxdy\leqslant 10$。
根据题目，积分区域D定义为$D=\{ (x,y)\quad (0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 2\} $，即x的取值范围是[0,1]，y的取值范围是[0,2]。
步骤 2：确定被积函数的范围
在积分区域D中，$0\leqslant x\leqslant 1$，$0\leqslant y\leqslant 2$，因此$x+y$的取值范围是$0\leqslant x+y\leqslant 3$。所以$x+y+2$的取值范围是$2\leqslant x+y+2\leqslant 5$。
步骤 3：利用二重积分的保号性
根据二重积分的保号性，如果$f(x,y)\leqslant g(x,y)$，则$\iint_{D}f(x,y)dxdy\leqslant \iint_{D}g(x,y)dxdy$。因此，$2\leqslant x+y+2\leqslant 5$，则$2\iint_{D}dxdy\leqslant \iint_{D}(x+y+2)dxdy\leqslant 5\iint_{D}dxdy$。
步骤 4：计算积分区域D的面积
积分区域D的面积为$S=\iint_{D}dxdy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}dxdy=(1-0)\times(2-0)=2$。
步骤 5：代入面积计算二重积分的范围
将面积S=2代入步骤3中的不等式，得到$2\times2\leqslant \iint_{D}(x+y+2)dxdy\leqslant 5\times2$，即$4\leqslant \iint_{D}(x+y+2)dxdy\leqslant 10$。