题目
3. (3.0分) lim_(xtoinfty)(1+(1)/(x))^x=e。A. 对B. 错
3. (3.0分)
$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：定义和理解极限
给定极限 $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}$，我们需要确定当 $x$ 趋向于无穷大时，表达式 $(1+\frac{1}{x})^{x}$ 的值。这个极限是著名的自然对数底数 $e$ 的定义之一。
步骤 2：使用夹逼定理
对于正实数 $x$，设 $n = [x]$，其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分。则有 $n \leq x < n+1$。根据夹逼定理，可以得到：
\[ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \]
步骤 3：处理负无穷的情况
当 $x \to -\infty$ 时，令 $y = -x$，则 $y \to +\infty$。因此，有：
\[ \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{-y} = \left(1 + \frac{1}{y-1}\right)^y \to e \]
这表明，无论 $x$ 趋向于正无穷还是负无穷，极限值都是 $e$。
给定极限 $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}$，我们需要确定当 $x$ 趋向于无穷大时，表达式 $(1+\frac{1}{x})^{x}$ 的值。这个极限是著名的自然对数底数 $e$ 的定义之一。
步骤 2：使用夹逼定理
对于正实数 $x$，设 $n = [x]$，其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分。则有 $n \leq x < n+1$。根据夹逼定理，可以得到：
\[ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \]
步骤 3：处理负无穷的情况
当 $x \to -\infty$ 时，令 $y = -x$，则 $y \to +\infty$。因此，有：
\[ \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{-y} = \left(1 + \frac{1}{y-1}\right)^y \to e \]
这表明，无论 $x$ 趋向于正无穷还是负无穷，极限值都是 $e$。