题目
2.求由曲线y=x^3和直线x=2，y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转所形成的旋转体的体积.
2.求由曲线$y=x^{3}$和直线x=2，y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转所形成的旋转体的体积.
题目解答
答案
**绕 $x$ 轴旋转：**
使用圆盘法，体积 $V_x$ 为
\[
V_x = \pi \int_{0}^{2} (x^3)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{2} x^6 \, dx = \pi \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2} = \frac{128\pi}{7}
\]
**绕 $y$ 轴旋转：**
使用圆柱壳法，体积 $V_y$ 为
\[
V_y = 2\pi \int_{0}^{2} x \cdot x^3 \, dx = 2\pi \int_{0}^{2} x^4 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{64\pi}{5}
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{绕 } x \text{ 轴：} & \frac{128\pi}{7} \\
\text{绕 } y \text{ 轴：} & \frac{64\pi}{5}
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查旋转体体积的计算，涉及圆盘法和圆柱壳法的应用，需要根据旋转轴的不同选择合适的积分方法。
解题核心思路：
- 绕x轴旋转：使用圆盘法，将垂直于x轴的薄片视为圆盘，体积元素为$\pi [f(x)]^2 dx$，积分区间为$x$从$0$到$2$。
- 绕y轴旋转：使用圆柱壳法，将平行于y轴的薄片视为圆柱壳，体积元素为$2\pi x \cdot f(x) dx$，积分区间仍为$x$从$0$到$2$。
破题关键点：
- 正确选择方法：根据旋转轴的位置选择圆盘法或圆柱壳法。
- 确定积分区间和被积函数：明确曲线与直线围成的区域边界，正确表达被积函数。
绕x轴旋转
确定积分方法与被积函数
使用圆盘法，体积元素为$\pi [f(x)]^2 dx$，其中$f(x) = x^3$，因此被积函数为$\pi (x^3)^2 = \pi x^6$。
积分计算
积分区间为$x$从$0$到$2$：
$V_x = \pi \int_{0}^{2} x^6 \, dx = \pi \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2} = \frac{128\pi}{7}.$
绕y轴旋转
确定积分方法与被积函数
使用圆柱壳法，体积元素为$2\pi x \cdot f(x) dx$，其中$f(x) = x^3$，因此被积函数为$2\pi x \cdot x^3 = 2\pi x^4$。
积分计算
积分区间为$x$从$0$到$2$：
$V_y = 2\pi \int_{0}^{2} x^4 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{64\pi}{5}.$