计算极限 lim _(xarrow 0)dfrac ({(1+x))^dfrac (2{x)}-(e)^2[ 1-ln (1+x)] }(x) +x)]/

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及指数函数与对数函数的泰勒展开、等价无穷小替换以及极限运算技巧。

解题核心思路：

1. 展开关键项：将分子中的$(1+x)^{\frac{2}{x}}$和$e^{2}[1-\ln(1+x)]$分别展开到足够阶数，确保相减后能消去低阶项，保留有效高阶项。
2. 化简分子：通过展开后的表达式相减，得到分子的主部。
3. 求极限：将化简后的分子除以$x$，取极限。

破题关键点：

• 指数函数展开：将$(1+x)^{\frac{2}{x}}$转化为$e^{2 \cdot \frac{\ln(1+x)}{x}}$，再利用泰勒展开展开到$x^2$项。
• 对数函数展开：对$\ln(1+x)$展开到$x^2$项，代入后与指数部分展开式相减。
• 保留有效项：通过展开消去低阶项，保留$x^2$项，最终除以$x$后得到关于$x$的一次项，从而求得极限。

步骤1：展开$(1+x)^{\frac{2}{x}}$
利用自然对数与指数函数的转换：
$(1+x)^{\frac{2}{x}} = e^{\frac{2}{x} \ln(1+x)}.$
展开$\ln(1+x)$到$x^2$项：
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots.$
代入后指数部分为：
$\frac{2}{x} \ln(1+x) = \frac{2}{x} \left( x - \frac{x^2}{2} + \cdots \right) = 2 - x + \cdots.$
进一步展开指数函数：
$e^{2 - x + \cdots} = e^2 \cdot e^{-x + \cdots} \approx e^2 \left( 1 - x + \frac{x^2}{2} + \cdots \right).$
因此：
$(1+x)^{\frac{2}{x}} \approx e^2 \left( 1 - x + \frac{7x^2}{6} \right).$

步骤2：展开$e^{2}[1-\ln(1+x)]$
展开$\ln(1+x)$到$x^2$项：
$1 - \ln(1+x) = 1 - \left( x - \frac{x^2}{2} + \cdots \right) = 1 - x + \frac{x^2}{2} + \cdots.$
乘以$e^2$后：
$e^2 \left( 1 - x + \frac{x^2}{2} \right).$

步骤3：计算分子并化简
分子为：
$(1+x)^{\frac{2}{x}} - e^2[1-\ln(1+x)] \approx e^2 \left( 1 - x + \frac{7x^2}{6} \right) - e^2 \left( 1 - x + \frac{x^2}{2} \right) = e^2 \cdot \frac{2x^2}{3}.$
分子除以$x$后：
$\frac{e^2 \cdot \frac{2x^2}{3}}{x} = \frac{2e^2 x}{3}.$
当$x \to 0$时，$\frac{2e^2 x}{3} \to 0$。