证明:当 gt 0 时,有不等式 arctan x+dfrac (1)(x)gt dfrac (pi )(2)

考查要点：本题主要考查利用导数分析函数单调性来证明不等式的方法，以及极限的计算。

解题核心思路：构造辅助函数$f(x) = \arctan x + \dfrac{1}{x} - \dfrac{\pi}{2}$，通过求导分析其单调性，并结合极限判断函数值的符号。

破题关键点：

1. 构造函数：将不等式转化为函数$f(x)$的符号问题。
2. 求导分析单调性：通过导数$f'(x)$的符号确定$f(x)$在$x > 0$时单调递减。
3. 极限分析边界值：计算$x \to +\infty$时$f(x)$的极限为$0$，结合单调性得出$f(x) > 0$。

步骤1：构造辅助函数

定义函数：
$f(x) = \arctan x + \dfrac{1}{x} - \dfrac{\pi}{2}, \quad x > 0$

步骤2：求导分析单调性

计算$f(x)$的导数：
$f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1}{x^2}$

通分化简：
$f'(x) = \dfrac{x^2 - (1+x^2)}{x^2(1+x^2)} = \dfrac{-1}{x^2(1+x^2)}$

由于$x > 0$，分母$x^2(1+x^2) > 0$，分子为$-1$，因此：
$f'(x) < 0$

结论：$f(x)$在$(0, +\infty)$上严格单调递减。

步骤3：分析极限与函数值符号

1. 当$x \to +\infty$时：

   • $\arctan x \to \dfrac{\pi}{2}$
   • $\dfrac{1}{x} \to 0$
   • 因此，$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \dfrac{\pi}{2} + 0 - \dfrac{\pi}{2} = 0$

2. 当$x \to 0^+$时：

   • $\arctan x \to 0$
   • $\dfrac{1}{x} \to +\infty$
   • 因此，$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$

结合单调性：
$f(x)$在$x > 0$时单调递减，且当$x \to +\infty$时$f(x) \to 0$。因此，对任意$x > 0$，有：
$f(x) > \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

最终结论：
当$x > 0$时，$\arctan x + \dfrac{1}{x} > \dfrac{\pi}{2}$。