设 4 阶实对称阵 A 的特征值为 k_1 = k_2 = k_3 = 1 ，k_4 = 3 ，且向量 beta_1 = (1,1,0,0)' ，beta_2 = (1,0,1,0)' ，beta_3 = (1,0,0,1)' 都是对应于特征值 1 的特征向量，则 A 的属于特征值 3 的特征向量 beta_4 为A. beta_1, beta_2, beta_3 中的某一个.B. (3,1,1,1)' .C. (-1,1,1,1)' .D. 从已知条件尚无法确定.

本题考查实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交这一知识点。解题思路是利用这一性质，设出属于特征值$3$的特征向量$\beta_4=(x_1,x_2,x_3,x_4)'$，然后根据特征向量正交的性质列出方程组，求解该方程组得到$\beta_4$。

已知$A$是$4$阶实对称阵，$\beta_1 = (1,1,0,0)'$，$\beta_2 = (1,0,1,0)'$，$\beta_3 = (1,0,0,1)'$是对应于特征值$1$的特征向量，设$\beta_4=(x_1,x_2,x_3,x_4)'$是属于特征值$3$的特征向量。
因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，所以$\beta_4$与$\beta_1$、$\beta_2$、$\beta_3$都正交。
根据向量正交的定义，若两个向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3,a_4)'$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3,b_4)'$正交，则$\vec{a}'\vec{b}=0$，可得到以下方程组：
\(\begin{cases} \beta_1'\beta_4 = 0\\ \beta_2'\beta_4 = 0\\ \beta_3'\beta_4 = 0 \end{cases}\)
即\(\begin{cases} x_1 + x_2 = 0&(1)\\ x_1 + x_3 = 0&(2)\\ x_1 + x_4 = 0&(3) \end{cases}\)
由$(1)$式可得$x_2 = -x_1$；由$(2)$式可得$x_3 = -x_1$；由$(3)$式可得$x_4 = -x_1$。
令$x_1 = -1$，则$x_2 = 1$，$x_3 = 1$，$x_4 = 1$，所以$\beta_4 = (-1,1,1,1)'$。