题目
一对“无限长”的同轴直圆筒，半径分别为 R_1 和 R_2 (R_1 < R_2)，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度电量分别为 lambda_1 和 lambda_2。（1）试求空间的场强分布规律；（2）若 lambda_1 = -lambda_2，求场强分布规律。
一对“无限长”的同轴直圆筒，半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$ ($R_1 < R_2$)，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度电量分别为 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$。（1）试求空间的场强分布规律；（2）若 $\lambda_1 = -\lambda_2$，求场强分布规律。
题目解答
答案
1. 根据高斯定律，电场分布为：
\[
E(r) =
\begin{cases}
\frac{\lambda_1}{2\pi \epsilon_0 r} & (r < R_1) \\
\frac{\lambda_1}{2\pi \epsilon_0 r} & (R_1 < r < R_2) \\
\frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2\pi \epsilon_0 r} & (r > R_2)
\end{cases}
\]
2. 当 $ \lambda_2 = -\lambda_1 $ 时，电场分布为：
\[
E(r) =
\begin{cases}
\frac{\lambda_1}{2\pi \epsilon_0 r} & (r < R_1) \\
\frac{\lambda_1}{2\pi \epsilon_0 r} & (R_1 < r < R_2) \\
0 & (r > R_2)
\end{cases}
\]
在 $ r > R_2 $ 区域，电场被完全屏蔽，$ E = 0 $。
解析
本题考察同轴圆筒电场分布的高斯定律应用。关键在于分区域分析电场，并正确计算各区域内的包围电荷量。
- 高斯定律：电场的环量仅与高斯面内包围的电荷量有关。
- 区域划分：空间分为$r < R_1$、$R_1 < r < R_2$、$r > R_2$三个区域，分别对应不同电荷的叠加情况。
- 电荷分布：题目中圆筒的电荷沿轴线均匀分布，等效于无限长线电荷，场强公式为$E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$。
- 叠加原理：外圆筒电荷仅在$r > R_2$时对场强有贡献，当$\lambda_1 = -\lambda_2$时，外部区域总电荷为零，场强被屏蔽。
（1）一般情况下的场强分布
区域1：$r < R_1$
高斯面内仅包围内圆筒的电荷$\lambda_1 L$，场强为：
$E = \frac{\lambda_1}{2\pi \epsilon_0 r}.$
区域2：$R_1 < r < R_2$
高斯面仍仅包围内圆筒的电荷$\lambda_1 L$，场强与区域1相同：
$E = \frac{\lambda_1}{2\pi \epsilon_0 r}.$
区域3：$r > R_2$
高斯面包围两圆筒总电荷$(\lambda_1 + \lambda_2)L$，场强为：
$E = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2\pi \epsilon_0 r}.$
（2）$\lambda_1 = -\lambda_2$时的场强分布
区域1和2
与（1）相同，场强仍为$\frac{\lambda_1}{2\pi \epsilon_0 r}$。
区域3：$r > R_2$
总电荷为$\lambda_1 + (-\lambda_1) = 0$，场强为：
$E = 0.$