题目
已知双曲线C：(({x^2)})/(({a^2))}-(({y^2)})/(({b^2))}=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=±sqrt(3)x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为-sqrt(3)的直线与过Q且斜率为sqrt(3)的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
已知双曲线C：$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}$-$\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为-$\sqrt{3}$的直线与过Q且斜率为$\sqrt{3}$的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为-$\sqrt{3}$的直线与过Q且斜率为$\sqrt{3}$的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
题目解答
答案
解：（1）由题意可得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
因此C的方程为x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
（2）设直线PQ的方程为y=kx+m，（k≠0），将直线PQ的方程代入x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可得（3-k2）x2-2kmx-m2-3=0，
Δ=12（m2+3-k2）＞0，
∵x1＞x2＞0
∴x1+x2=$\frac{2km}{3-{k}^{2}}$＞0，x1x2=-$\frac{{m}^{2}+3}{3-{k}^{2}}$＞0，
∴3-k2＜0，
∴x1-x2=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}•\sqrt{{m}^{2}+3-{k}^{2}}}{{k}^{2}-3}$，
设点M的坐标为（xM，yM），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{M}-{y}_{1}=-\sqrt{3}（{x}_{M}-{x}_{1}）}\\{{y}_{M}-{y}_{2}=\sqrt{3}（{x}_{M}-{x}_{2}）}\end{array}\right.$，
两式相减可得y1-y2=2$\sqrt{3}$xM-$\sqrt{3}$（x1+x2），
∵y1-y2=k（x1-x2），
∴2$\sqrt{3}$xM=$\sqrt{3}$（x1+x2）+k（x1-x2），
解得XM=$\frac{k\sqrt{{m}^{2}+3-{k}^{2}}-\;km}{{k}^{2}-3}$，
两式相加可得2yM-（y1+y2）=$\sqrt{3}$（x1-x2），
∵y1+y2=k（x1+x2）+2m，
∴2yM=$\sqrt{3}$（x1-x2）+k（x1+x2）+2m，
解得yM=$\frac{3\sqrt{{m}^{2}+3-{k}^{2}}-3m}{{k}^{2}-3}$，
∴yM=$\frac{3}{k}$xM，其中k为直线PQ的斜率；
若选择①②：
设直线AB的方程为y=k（x-2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{3}=k（{x}_{3}-2）}\\{{y}_{3}=\sqrt{3}{x}_{3}}\end{array}\right.$，解得x3=$\frac{2k}{k-\sqrt{3}}$，y3=$\frac{2\sqrt{3}k}{k-\sqrt{3}}$，
同理可得x4=$\frac{2k}{k+\sqrt{3}}$，y4=-$\frac{2\sqrt{3}k}{k+\sqrt{3}}$，
∴x3+x4=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，y3+y4=$\frac{12k}{{k}^{2}-3}$，
此时点M的坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{M}=k（{x}_{M}-2）}\\{{y}_{M}=\frac{3}{k}{x}_{M}}\end{array}\right.$，解得XM=$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$=$\frac{1}{2}$（x3+x4），yM=$\frac{6k}{{k}^{2}-3}$=$\frac{1}{2}$（y3+y4），
∴M为AB的中点，即|MA|=|MB|；
若选择①③：
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时不在直线y=$\frac{3}{k}$x上，矛盾，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=m（x-2）（m≠0），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{3}=m（{x}_{3}-2）}\\{{y}_{3}=\sqrt{3}{x}_{3}}\end{array}\right.$，解得x3=$\frac{2m}{m-\sqrt{3}}$，y3=$\frac{2\sqrt{3}m}{m-\sqrt{3}}$，
同理可得x4=$\frac{2m}{m+\sqrt{3}}$，y4=-$\frac{2\sqrt{3}m}{m+\sqrt{3}}$，
此时xM=$\frac{1}{2}$（x3+x4）=$\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$，
∴yM=$\frac{1}{2}$（y3+y4）=$\frac{6m}{{m}^{2}-3}$，
由于点M同时在直线y=$\frac{3}{k}$x上，故6m=$\frac{3}{k}$•2m2，解得k=m，
因此PQ∥AB．
若选择②③，
设直线AB的方程为y=k（x-2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{3}=k（{x}_{3}-2）}\\{{y}_{3}=\sqrt{3}{x}_{3}}\end{array}\right.$，解得x3=$\frac{2k}{k-\sqrt{3}}$，y3=$\frac{2\sqrt{3}k}{k-\sqrt{3}}$，
同理可得x4=$\frac{2k}{k+\sqrt{3}}$，y4=-$\frac{2\sqrt{3}k}{k-\sqrt{3}}$，
设AB的中点C（xC，yC），则xC=$\frac{1}{2}$（x3+x4）=$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，yC=$\frac{1}{2}$（y3+y4）=$\frac{6k}{{k}^{2}-3}$，
由于|MA|=|MB|，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y-yC=-$\frac{1}{k}$（x-xC）上，
将该直线y=$\frac{3}{k}$x联立，解得xM=$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$=xC，yM=$\frac{6k}{{k}^{2}-3}$=yC，
即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
因此C的方程为x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
（2）设直线PQ的方程为y=kx+m，（k≠0），将直线PQ的方程代入x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可得（3-k2）x2-2kmx-m2-3=0，
Δ=12（m2+3-k2）＞0，
∵x1＞x2＞0
∴x1+x2=$\frac{2km}{3-{k}^{2}}$＞0，x1x2=-$\frac{{m}^{2}+3}{3-{k}^{2}}$＞0，
∴3-k2＜0，
∴x1-x2=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}•\sqrt{{m}^{2}+3-{k}^{2}}}{{k}^{2}-3}$，
设点M的坐标为（xM，yM），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{M}-{y}_{1}=-\sqrt{3}（{x}_{M}-{x}_{1}）}\\{{y}_{M}-{y}_{2}=\sqrt{3}（{x}_{M}-{x}_{2}）}\end{array}\right.$，
两式相减可得y1-y2=2$\sqrt{3}$xM-$\sqrt{3}$（x1+x2），
∵y1-y2=k（x1-x2），
∴2$\sqrt{3}$xM=$\sqrt{3}$（x1+x2）+k（x1-x2），
解得XM=$\frac{k\sqrt{{m}^{2}+3-{k}^{2}}-\;km}{{k}^{2}-3}$，
两式相加可得2yM-（y1+y2）=$\sqrt{3}$（x1-x2），
∵y1+y2=k（x1+x2）+2m，
∴2yM=$\sqrt{3}$（x1-x2）+k（x1+x2）+2m，
解得yM=$\frac{3\sqrt{{m}^{2}+3-{k}^{2}}-3m}{{k}^{2}-3}$，
∴yM=$\frac{3}{k}$xM，其中k为直线PQ的斜率；
若选择①②：
设直线AB的方程为y=k（x-2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{3}=k（{x}_{3}-2）}\\{{y}_{3}=\sqrt{3}{x}_{3}}\end{array}\right.$，解得x3=$\frac{2k}{k-\sqrt{3}}$，y3=$\frac{2\sqrt{3}k}{k-\sqrt{3}}$，
同理可得x4=$\frac{2k}{k+\sqrt{3}}$，y4=-$\frac{2\sqrt{3}k}{k+\sqrt{3}}$，
∴x3+x4=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，y3+y4=$\frac{12k}{{k}^{2}-3}$，
此时点M的坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{M}=k（{x}_{M}-2）}\\{{y}_{M}=\frac{3}{k}{x}_{M}}\end{array}\right.$，解得XM=$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$=$\frac{1}{2}$（x3+x4），yM=$\frac{6k}{{k}^{2}-3}$=$\frac{1}{2}$（y3+y4），
∴M为AB的中点，即|MA|=|MB|；
若选择①③：
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时不在直线y=$\frac{3}{k}$x上，矛盾，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=m（x-2）（m≠0），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{3}=m（{x}_{3}-2）}\\{{y}_{3}=\sqrt{3}{x}_{3}}\end{array}\right.$，解得x3=$\frac{2m}{m-\sqrt{3}}$，y3=$\frac{2\sqrt{3}m}{m-\sqrt{3}}$，
同理可得x4=$\frac{2m}{m+\sqrt{3}}$，y4=-$\frac{2\sqrt{3}m}{m+\sqrt{3}}$，
此时xM=$\frac{1}{2}$（x3+x4）=$\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$，
∴yM=$\frac{1}{2}$（y3+y4）=$\frac{6m}{{m}^{2}-3}$，
由于点M同时在直线y=$\frac{3}{k}$x上，故6m=$\frac{3}{k}$•2m2，解得k=m，
因此PQ∥AB．
若选择②③，
设直线AB的方程为y=k（x-2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{3}=k（{x}_{3}-2）}\\{{y}_{3}=\sqrt{3}{x}_{3}}\end{array}\right.$，解得x3=$\frac{2k}{k-\sqrt{3}}$，y3=$\frac{2\sqrt{3}k}{k-\sqrt{3}}$，
同理可得x4=$\frac{2k}{k+\sqrt{3}}$，y4=-$\frac{2\sqrt{3}k}{k-\sqrt{3}}$，
设AB的中点C（xC，yC），则xC=$\frac{1}{2}$（x3+x4）=$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，yC=$\frac{1}{2}$（y3+y4）=$\frac{6k}{{k}^{2}-3}$，
由于|MA|=|MB|，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y-yC=-$\frac{1}{k}$（x-xC）上，
将该直线y=$\frac{3}{k}$x联立，解得xM=$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$=xC，yM=$\frac{6k}{{k}^{2}-3}$=yC，
即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．