题目
37.设(X,Y)服从二维正态分布,且 (X)=(C)_(X)^2 (Y)=({sigma )_(Y)}^2.-|||-证明当 ^2=dfrac ({{sigma )_(x)}^2}({{sigma )_(y)}^2} 时,随机变量 U=X-aY 和 V=X+aY 相互独立.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定(U,V)的分布
由于(X,Y)服从二维正态分布，且U和V是X和Y的线性组合，因此(U,V)也服从二维正态分布。
步骤 2：计算U和V的协方差
根据协方差的定义，计算U和V的协方差：
\[
\text{Cov}(U,V) = \text{Cov}(X-aY, X+aY)
\]
\[
= \text{Cov}(X,X) + a\text{Cov}(X,Y) - a\text{Cov}(Y,X) - a^2\text{Cov}(Y,Y)
\]
\[
= D(X) - a^2D(Y)
\]
\[
= \sigma_X^2 - a^2\sigma_Y^2
\]
步骤 3：证明U和V不相关
当$a^2 = \frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}$时，代入上式：
\[
\text{Cov}(U,V) = \sigma_X^2 - \frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}\sigma_Y^2 = \sigma_X^2 - \sigma_X^2 = 0
\]
因此，U和V的协方差为0，即U和V不相关。
步骤 4：利用二维正态分布的性质
由于(U,V)服从二维正态分布，且U和V不相关，根据二维正态分布的性质，U和V相互独立。
由于(X,Y)服从二维正态分布，且U和V是X和Y的线性组合，因此(U,V)也服从二维正态分布。
步骤 2：计算U和V的协方差
根据协方差的定义，计算U和V的协方差：
\[
\text{Cov}(U,V) = \text{Cov}(X-aY, X+aY)
\]
\[
= \text{Cov}(X,X) + a\text{Cov}(X,Y) - a\text{Cov}(Y,X) - a^2\text{Cov}(Y,Y)
\]
\[
= D(X) - a^2D(Y)
\]
\[
= \sigma_X^2 - a^2\sigma_Y^2
\]
步骤 3：证明U和V不相关
当$a^2 = \frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}$时，代入上式：
\[
\text{Cov}(U,V) = \sigma_X^2 - \frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2}\sigma_Y^2 = \sigma_X^2 - \sigma_X^2 = 0
\]
因此，U和V的协方差为0，即U和V不相关。
步骤 4：利用二维正态分布的性质
由于(U,V)服从二维正态分布，且U和V不相关，根据二维正态分布的性质，U和V相互独立。