102.设 _(1)=4 ,_(n+1)=sqrt ({a)_(n)+2}, 证明:liman存在,并求此极限.

考查要点：本题主要考查递推数列极限的存在性证明及求解方法，涉及单调有界定理和不动点法的应用。

解题核心思路：

1. 证明数列单调性与有界性：通过数学归纳法证明数列单调递减且存在下界，从而根据单调有界定理确定极限存在。
2. 求解极限值：假设极限存在，代入递推关系式求解方程得到极限值。

破题关键点：

• 观察前几项趋势：初步判断数列可能递减并趋近于某个值。
• 构造数学归纳法：严格证明数列的单调性和有界性。
• 建立方程求解：利用极限的定义将递推关系转化为代数方程。

步骤1：证明数列单调递减且有下界

基础步骤：

• 当 $n=1$ 时，$a_1=4$，$a_2=\sqrt{4+2}=\sqrt{6} \approx 2.449 < 4$，故 $a_2 < a_1$，且 $a_2 > 2$。

归纳假设：
假设当 $n=k$ 时，$a_k > a_{k+1} \geq 2$ 成立。

归纳递推：
由递推式 $a_{k+2} = \sqrt{a_{k+1} + 2}$，因 $a_{k+1} < a_k$，得：
$a_{k+1} + 2 < a_k + 2 \implies \sqrt{a_{k+1} + 2} < \sqrt{a_k + 2} \implies a_{k+2} < a_{k+1}.$
同时，因 $a_{k+1} \geq 2$，故：
$a_{k+2} = \sqrt{a_{k+1} + 2} \geq \sqrt{2 + 2} = 2.$
因此，数列 $\{a_n\}$ 单调递减且下界为 $2$。

步骤2：求极限值

设 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，则递推式两边取极限得：
$L = \sqrt{L + 2}.$
两边平方得方程：
$L^2 = L + 2 \implies L^2 - L - 2 = 0.$
解得：
$L = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies L = 2 \text{ 或 } L = -1.$
由于数列各项均为正数，故极限 $L = 2$。