25. (10分) 求二元函数f(x,y)=e^2x(x+y^2+2y)的极值.

求二元函数 $ f(x, y) = e^{2x}(x + y^2 + 2y) $ 的极值。

1. 求偏导数：
   $f_x = e^{2x}(2x + 2y^2 + 4y + 1), \quad f_y = 2e^{2x}(y + 1)$
2. 找驻点：
   由 $ f_y = 0 $ 得 $ y = -1 $，代入 $ f_x = 0 $ 得 $ x = \frac{1}{2} $。
   驻点为 $ \left( \frac{1}{2}, -1 \right) $。
3. 二阶偏导数：
   $f_{xx} = 4e^{2x}(x + y^2 + 2y + 1), \quad f_{xy} = 4e^{2x}(y + 1), \quad f_{yy} = 2e^{2x}$
4. 判别极值：
   在驻点处，$ f_{xx} = 2e $，$ f_{xy} = 0 $，$ f_{yy} = 2e $，
   $ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 4e^2 > 0 $，且 $ f_{xx} > 0 $，故为局部最小值。
5. 计算极值：
   $f\left( \frac{1}{2}, -1 \right) = -\frac{e}{2}$

答案：$\boxed{-\frac{e}{2}}$（局部最小值）