21. (2.0分) 如果 lim_((x,y)to(0,0))f(x,y)=L ，则 lim_(yto0)f(4y,y)=L.A. 对B. 错

本题考查二元函数极限的定义及性质。解题的关键在于理解二元函数极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=L$ 的含义，即当点 $(x,y)$ 以任意方式趋近于点 $(0,0)$ 时，函数 $f(x,y)$ 的值都趋近于 $L$。而 $\lim_{y\to0}f(4y,y)$ 表示点 $(x,y)$ 沿着直线 $x = 4y$ 趋近于点 $(0,0)$ 时函数 $f(x,y)$ 的极限。

下面进行详细分析：
已知 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=L$，根据二元函数极限的定义，对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $0<\sqrt{(x - 0)^2+(y - 0)^2}<\delta$ 时，有 $|f(x,y)-L|<\epsilon$。

对于 $\lim_{y\to0}f(4y,y)$，令 $x = 4y$，当 $y\to0$ 时，点 $(x,y)=(4y,y)$ 趋近于 $(0,0)$。此时，我们需要判断是否满足上述极限定义中的条件。

计算 $\sqrt{(x - 0)^2+(y - 0)^2}$，将 $x = 4y$ 代入可得：
$\sqrt{(4y - 0)^2+(y - 0)^2}=\sqrt{16y^2 + y^2}=\sqrt{17y^2}=\sqrt{17}|y|$

对于任意给定的正数 $\epsilon$，要使 $|f(4y,y)-L|<\epsilon$，我们可以取 $\delta'=\frac{\delta}{\sqrt{17}}$。当 $0<|y - 0|<\delta'$ 时，有：
$0<\sqrt{(4y - 0)^2+(y - 0)^2}=\sqrt{17}|y|<\sqrt{17}\delta'=\delta$

根据 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=L$ 的定义，此时有 $|f(4y,y)-L|<\epsilon$。

这就说明 $\lim_{y\to0}f(4y,y)=L$，所以该命题是正确的。