题目
4.一平面过z轴，且与平面 2x+y-sqrt(5)z=0的夹角为(pi)/(3)，求它的方程.
4.一平面过z轴，且与平面 $ 2x+y-\sqrt{5}z=0$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，求它的方程.
题目解答
答案
设所求平面方程为 $Ax + By = 0$（过 $z$ 轴），其法向量为 $\mathbf{n}_2 = (A, B, 0)$。已知平面 $2x + y - \sqrt{5}z = 0$ 的法向量为 $\mathbf{n}_1 = (2, 1, -\sqrt{5})$。两平面夹角为 $\frac{\pi}{3}$，则：
\[
\cos \frac{\pi}{3} = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1| |\mathbf{n}_2|} = \frac{|2A + B|}{\sqrt{10} \sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{1}{2}
\]
平方并整理得：
\[
3B^2 - 8AB - 3A^2 = 0
\]
解得 $\frac{A}{B} = -3$ 或 $\frac{A}{B} = \frac{1}{3}$，对应平面方程为：
\[
\boxed{x + 3y = 0 \quad \text{或} \quad 3x - y = 0}
\]