2.给出以下4个命题①若lim_(n to infty)a_(n)=a,则当n充分大时,|a_(n)-a|0,当n充分大时,|a_(n)-a|0,当n充分大时,|a_(n)-a|A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.

本题考查数列极限的定义。数列极限的定义为：设$\{a_{n}\}$为一数列，如果存在常数$a$，对于任意给定的正数$\varepsilon$（不论它多么小），总存在正整数$N$，使得当$n > N$时，不等式$\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon$都成立，那么就称常数$a$是数列$\{a_{n}\}$的极限，记作$\lim_{n \to \infty}a_{n}=a$。

下面我们根据数列极限的定义逐一分析这$4$个命题：

• 命题①：若$\lim_{n \to \infty}a_{n}=a$，则当$n$充分大时，$\vert a_{n}-a\vert<\frac{1}{1000!}$。
  因为$\frac{1}{1000!}$是一个确定的正数，根据数列极限的定义，对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，当$n > N$时，$\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon$成立。
  令$\varepsilon = \frac{1}{1000!}$，那么必然存在正整数$N_1$，当$n > N_1$时，$\vert a_{n}-a\vert<\frac{1}{1000!}$成立，所以该命题正确。
• 命题②：若$\lim_{n \to \infty}a_{n}=a$，则对任意给定的$\varepsilon>0$，当$n$充分大时，$\vert a_{n}-a\vert<\frac{\varepsilon}{100}$。
  已知$\lim_{n \to \infty}a_{n}=a$，根据数列极限的定义，对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N$，当$n > N$时，$\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon$成立。
  令$\varepsilon_1=\frac{\varepsilon}{100}$，因为$\varepsilon_1$也是正数，所以对于$\varepsilon_1$，存在正整数$N_2$，当$n > N_2$时，$\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon_1=\frac{\varepsilon}{100}$成立，所以该命题正确。
• 命题③：若$\lim_{n \to \infty}a_{n}=a$，则对任意的$\varepsilon>0$，当$n$充分大时，$\vert a_{n}-a\vert<100\varepsilon$。
  同样根据数列极限的定义，对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N$，当$n > N$时，$\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon$成立。
  令$\varepsilon_2 = 100\varepsilon$，由于$\varepsilon_2$是正数，那么对于$\varepsilon_2$，存在正整数$N_3$，当$n > N_3$时，$\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon_2 = 100\varepsilon$成立，所以该命题正确。
• 命题④：若$\lim_{n \to \infty}a_{n}=a$，则当$n$充分大时，$\vert a_{n}-a\vert<\frac{1000!}{n}$。
  因为$\lim_{n \to \infty}\frac{1000!}{n}=0$，根据数列极限的定义，对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N$，当$n > N$时，$\vert\frac{1000!}{n}-0\vert<\varepsilon$成立。
  又因为$\lim_{n \to \infty}a_{n}=a$，对于上述的$\varepsilon$，也存在正整数$N_4$，当$n > N_4$时，$\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon$成立。
  取$N_5 = \max\{N, N_4\}$，当$n > N_5$时，有$\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon$且$\vert\frac{1000!}{n}-0\vert<\varepsilon$，所以$\vert a_{n}-a\vert<\frac{1000!}{n}$成立，该命题正确。

综上，$4$个命题中有$3$个是真命题。