题目
二、判断题(共10题，10.0分)51.(判断题，1.0分)f'(ax+b)=(f(ax+b))'成立.A 对B 错
二、判断题(共10题，10.0分)
51.(判断题，1.0分)
$f'(ax+b)=(f(ax+b))'$成立.
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断等式 $ f'(ax+b) = (f(ax+b))' $ 是否成立，我们需要理解等式两边的含义。
左边，$ f'(ax+b) $，表示函数 $ f $ 在 $ ax+b $ 处的导数。这是函数 $ f $ 在点 $ ax+b $ 的导数值。
右边，$ (f(ax+b))' $，表示函数 $ f(ax+b) $ 关于 $ x $ 的导数。为了找到这个导数，我们需要使用链式法则。链式法则指出，如果有一个复合函数 $ g(h(x)) $，那么它的导数是 $ g'(h(x)) \cdot h'(x) $。在我们的情况下，$ g(u) = f(u) $ 和 $ h(x) = ax+b $，所以 $ (f(ax+b))' = f'(ax+b) \cdot (ax+b)' = f'(ax+b) \cdot a $。
因此，右边的表达式是 $ a f'(ax+b) $。
现在，让我们比较两边：
- 左边是 $ f'(ax+b) $。
- 右边是 $ a f'(ax+b) $。
显然，$ f'(ax+b) $ 并不等于 $ a f'(ax+b) $，除非 $ a = 1 $。由于题目没有指定 $ a = 1 $，等式 $ f'(ax+b) = (f(ax+b))' $ 一般情况下不成立。
因此，正确答案是 $\boxed{B}$。
解析
考查要点：本题主要考查导数的计算规则，特别是复合函数求导的链式法则的理解与应用。
解题核心思路：
- 明确符号含义：区分$f'(ax+b)$与$(f(ax+b))'$的差异。
- 应用链式法则：对复合函数$f(ax+b)$求导时，需将外函数与内函数的导数相乘。
- 比较两边结果：判断等式是否成立的关键在于是否包含内函数导数$a$。
破题关键点：
- 左边$f'(ax+b)$是函数$f$在点$ax+b$处的导数值。
- 右边$(f(ax+b))'$是复合函数对$x$的导数，需通过链式法则展开，结果为$a \cdot f'(ax+b)$。
- 结论：除非$a=1$，否则等式不成立。
步骤1：分析左边表达式
左边$f'(ax+b)$表示：
- 先对函数$f(u)$求导，得到$f'(u)$；
- 将$u = ax + b$代入导函数，得到$f'(ax + b)$。
步骤2：分析右边表达式
右边$(f(ax+b))'$表示对复合函数$f(ax+b)$关于$x$求导，需应用链式法则：
- 设外函数为$f(u)$，内函数为$u = ax + b$；
- 外函数导数为$f'(u)$，内函数导数为$u' = a$；
- 根据链式法则，复合函数导数为：
$(f(ax+b))' = f'(ax+b) \cdot a$
步骤3：比较两边结果
- 左边：$f'(ax+b)$
- 右边：$a \cdot f'(ax+b)$
结论：
除非$a = 1$，否则$f'(ax+b) \neq a \cdot f'(ax+b)$。题目未限定$a=1$，因此等式不成立。