题目
设随机变量 X 服从参数的泊松分布，已知，则P(X≠0)=______
设随机变量 X 服从参数
的泊松分布，已知
，则P{X≠0}=______
题目解答
答案
解得
故
解析
步骤 1：确定泊松分布的期望值
泊松分布的期望值$E(X)=\lambda$，其中$\lambda$是泊松分布的参数。对于随机变量$X$，其平方的期望值$E(X^2)$可以通过方差和期望值的关系来计算，即$E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2$。由于泊松分布的方差等于其期望值，即$Var(X)=\lambda$，因此$E(X^2)=\lambda+\lambda^2$。
步骤 2：计算给定表达式的期望值
根据题目条件，$E({X}^{2}+2X-4)=0$。将$E(X^2)$和$E(X)$的表达式代入，得到$\lambda+\lambda^2+2\lambda-4=0$。简化得到$\lambda^2+3\lambda-4=0$。
步骤 3：求解方程
解方程$\lambda^2+3\lambda-4=0$，得到$\lambda=1$或$\lambda=-4$。由于$\lambda$是泊松分布的参数，它必须是非负的，因此$\lambda=1$。
步骤 4：计算$P\{ X\neq 0\}$
泊松分布的概率质量函数为$P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$。因此，$P\{ X=0\} =\frac{1^0 e^{-1}}{0!}=e^{-1}$。所以$P\{ X\neq 0\} =1-P\{ X=0\} =1-e^{-1}$。
泊松分布的期望值$E(X)=\lambda$，其中$\lambda$是泊松分布的参数。对于随机变量$X$，其平方的期望值$E(X^2)$可以通过方差和期望值的关系来计算，即$E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2$。由于泊松分布的方差等于其期望值，即$Var(X)=\lambda$，因此$E(X^2)=\lambda+\lambda^2$。
步骤 2：计算给定表达式的期望值
根据题目条件，$E({X}^{2}+2X-4)=0$。将$E(X^2)$和$E(X)$的表达式代入，得到$\lambda+\lambda^2+2\lambda-4=0$。简化得到$\lambda^2+3\lambda-4=0$。
步骤 3：求解方程
解方程$\lambda^2+3\lambda-4=0$，得到$\lambda=1$或$\lambda=-4$。由于$\lambda$是泊松分布的参数，它必须是非负的，因此$\lambda=1$。
步骤 4：计算$P\{ X\neq 0\}$
泊松分布的概率质量函数为$P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$。因此，$P\{ X=0\} =\frac{1^0 e^{-1}}{0!}=e^{-1}$。所以$P\{ X\neq 0\} =1-P\{ X=0\} =1-e^{-1}$。