17.(本小题满分15分)如图所示的四棱锥 P-ABCD 中, bot 平面ABCD, ykparallel AD , bot AD-|||-(1)证明:平面 bot 平面PAD;-|||-(2)若 =AB=sqrt (2) ,=sqrt (3)+1 ,BC=2 ,P,B,C,D在同一个球面上,设该球面的球心为O.17.(本小题满分15分)如图所示的四棱锥 P-ABCD 中, bot 平面ABCD, ykparallel AD , bot AD-|||-(1)证明:平面 bot 平面PAD;-|||-(2)若 =AB=sqrt (2) ,=sqrt (3)+1 ,BC=2 ,P,B,C,D在同一个球面上,设该球面的球心为O.17.(本小题满分15分)如图所示的四棱锥 P-ABCD 中, bot 平面ABCD, ykparallel AD , bot AD-|||-(1)证明:平面 bot 平面PAD;-|||-(2)若 =AB=sqrt (2) ,=sqrt (3)+1 ,BC=2 ,P,B,C,D在同一个球面上,设该球面的球心为O.

题目考察知识和解题思路

本题主要考察空间几何中的平面垂直证明、外接球心位置判定以及异面直线所成角的余弦值计算，涉及空间直角坐标系的建立与向量运算。

（1）证明：平面$PAB \bot$平面$PAD$

解题思路：
要证两个平面垂直，需证一个平面内存在直线垂直于另一个平面。

• 已知$PA \bot$平面$ABCD$，$AD \subset$平面$ABCD$，故$PA \bot AD$；
• 题目条件$AB \bot AD$，且$PA \cap AB = A$（$PA,AB \subset$平面$PAB$），根据线面垂直判定定理，$AD \bot$平面$PAB$；
• 又$AD \subset$平面$PAD$，由面面垂直判定定理，平面$PAB \bot$平面$PAD$。

（2）建立坐标系与坐标计算

解题思路：
以$A$为原点，$AB,AD,AP$分别为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标：

• $B(\sqrt{2},0,0)$，$C(\sqrt{2},2,0)$（$BC \parallel AD$且$BC=2$），$D(0,\sqrt{3}+1,0)$，$P(0,0,\sqrt{2})$。

（i）证明：$O$在平面$ABCD$上

解题思路：
四棱锥外接球心$O$到$P,B,C,D$四点距离相等，先求$\triangle BCD$外接圆圆心$O_1$，验证$PO_1=BO_1=CO_1=DO_1$：

• $BC$中垂线：$BC$平行$y$轴（$x=\sqrt{2}$），中点$(\sqrt{2},1,0)$，中垂线为$y=1$；
• $BD$中垂线：$B(\sqrt{2},0,0)$，$D(0,\sqrt{3}+1,0)$，中点$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2},0)$，斜率$-\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$，方程为$y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}x+1$；
• 联立解得$O_1(0,1,0)$，计算$PO_1=\sqrt{(0-0)^2+(1-0)^2+(\sqrt{2}-0)^2}=\sqrt{3}$，$BO_1=\sqrt{(\sqrt{2}-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{3}$，故$O_1$即外接球心$O$)，在平面$ABCD$上。

（ii）求直线$AC$与$PO$所成角的余弦值

解题思路：
利用向量夹角公式计算异面直线方向向量的余弦值：

• $\overrightarrow{PO}=(0,1,-\sqrt{2})$（$P(0,0,0,\sqrt{2})$到$O(0,1,0)$），$\overrightarrow{AC}=(\sqrt{sqrt{2},2,0})$（$A(0,0,0)$到$C(\sqrt{2},2,2,0)$）；
• 向量点积$\overrightarrow{PO} \cdot \overrightarrow{AC}=0 \cdot \sqrt{sqrt{2} + 1 \cdot 2 + (-\sqrt{2}) \cdot 0=2$；
• $|\overrightarrow{|PO|}=\sqrt{0^2+1^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{(\sqrt{2})^2+2^2+0^2}=\sqrt{6}$；
  -精$\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。