题目
20. (AB)^T=B^TA^T(2分) 正确 错误
20. $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$(2分)
正确 错误
题目解答
答案
根据矩阵转置的性质，对于任意两个可乘矩阵 $A$ 和 $B$，其乘积的转置等于各自转置按相反顺序相乘，即：
\[
(AB)^T = B^T A^T
\]
此性质可由矩阵乘法和转置的定义推导得出。具体来说，设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times p$ 矩阵，则 $AB$ 的 $(i, j)$-元素为 $\sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}$。转置后，$(AB)^T$ 的 $(i, j)$-元素变为 $\sum_{k=1}^n A_{jk} B_{ki}$，与 $B^T A^T$ 的 $(i, j)$-元素一致。
因此，等式 $(AB)^T = B^T A^T$ 成立。
答案：$\boxed{\text{正确}}$
解析
考查要点：本题主要考查矩阵转置的基本性质，特别是矩阵乘积的转置运算规则。
核心思路：矩阵转置运算与乘法运算的顺序有关，乘积的转置等于各自转置后按相反顺序相乘。
关键点：理解转置运算对矩阵乘法顺序的影响，即 $(AB)^T = B^T A^T$ 的本质是转置后交换乘法顺序。
矩阵转置的性质：
对于任意两个可乘矩阵 $A$（$m \times n$）和 $B$（$n \times p$），其乘积的转置满足：
$(AB)^T = B^T A^T$
推导过程：
- 矩阵乘积的元素：
设 $AB$ 的 $(i, j)$-元素为 $\sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}$。 - 转置后的元素：
$(AB)^T$ 的 $(i, j)$-元素为 $\sum_{k=1}^n A_{jk} B_{ki}$（转置后行变列，列变行）。 - $B^T A^T$ 的元素：
$B^T$ 的 $(j, k)$-元素为 $B_{kj}$，$A^T$ 的 $(k, i)$-元素为 $A_{jk}$，因此 $B^T A^T$ 的 $(i, j)$-元素为 $\sum_{k=1}^n B_{kj} A_{jk}$，与 $(AB)^T$ 的元素相同。
结论：等式 $(AB)^T = B^T A^T$ 成立。