题目

简答题（10.0分） 1.int ln xdx

简答题（10.0分） 1.$\int ln xdx$

题目解答

答案

要解决积分 $\int \ln x \, dx$，我们可以使用分部积分法。分部积分法的公式是： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 在这个问题中，我们可以设 $u = \ln x$ 和 $dv = dx$。那么，我们需要找到 $du$ 和 $v$。根据 $u = \ln x$，我们有 $du = \frac{1}{x} \, dx$。根据 $dv = dx$，我们有 $v = x$。 现在，将 $u$，$v$，$du$ 和 $dv$ 代入分部积分法的公式，我们得到： \[ \int \ln x \, dx = (\ln x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \] 简化右边的表达式，我们有： \[ \int \ln x \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx \] 积分 $\int 1 \, dx$ 等于 $x$。因此，我们得到： \[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + C \] 其中 $C$ 是积分常数。所以，最终答案是： \[ \boxed{x \ln x - x + C} \]

解析

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，特别是对自然对数函数$\ln x$的积分处理。

解题核心思路：
选择适当的函数作为$u$和$dv$，利用分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，将原积分转化为更简单的积分形式。关键在于合理拆分被积函数，使得新生成的积分比原积分更容易计算。

破题关键点：

  1. 选择$u = \ln x$，因为$\ln x$的导数$\frac{1}{x}$形式简单，且后续积分$\int v \, du$会简化计算。
  2. 选择$dv = dx$，对应的$v = x$，确保分部积分后的表达式能够进一步简化。

分部积分法步骤：

  1. 设$u$和$dv$：
    令$u = \ln x$，则$du = \frac{1}{x} dx$；
    令$dv = dx$，则$v = x$。

  2. 代入分部积分公式：
    $\int \ln x \, dx = uv - \int v \, du = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx$

  3. 简化剩余积分：
    $\int x \cdot \frac{1}{x} dx = \int 1 \, dx = x + C$

  4. 组合结果：
    $\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$