曲线 ) x=1+(t)^2 y=(t)^3 . 在 t=2 处的切线方程为 __-|||-A y=-3x-7-|||-B y=3x-7-|||-C y=3x+7-|||-D y=-3x+7

考查要点：本题主要考查参数方程求导及切线方程的求解方法。
解题思路：

1. 参数方程求导：利用公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ 计算斜率；
2. 求切点坐标：将 $t=2$ 代入参数方程；
3. 点斜式方程：用斜率和切点坐标写出切线方程。
   关键点：正确应用参数方程求导公式，避免混淆分子分母顺序。

步骤1：求导数 $\frac{dy}{dx}$

• 对 $x=1+t^2$ 求导：$\frac{dx}{dt} = 2t$
• 对 $y=t^3$ 求导：$\frac{dy}{dt} = 3t^2$
• 参数方程导数：$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$

步骤2：计算 $t=2$ 处的斜率

代入 $t=2$：
$\frac{dy}{dx} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

步骤3：求切点坐标

代入 $t=2$：
$x = 1 + 2^2 = 5, \quad y = 2^3 = 8$
切点为 $(5, 8)$。

步骤4：写切线方程

用点斜式 $y - y_0 = k(x - x_0)$：
$y - 8 = 3(x - 5) \implies y = 3x - 15 + 8 \implies y = 3x - 7$