(19) =ln ((e)^x+sqrt (1+{e)^2x}).

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则，特别是自然对数函数与根号函数的复合导数计算，以及代数式的化简能力。

解题核心思路：

1. 链式法则：外层对自然对数函数求导，内层对复合函数求导。
2. 分步求导：将函数分解为多个基本函数，逐层求导后相乘。
3. 代数化简：通过通分、约分等操作简化最终表达式。

破题关键点：

• 识别复合结构：明确外层函数为$\ln(u)$，内层函数$u = e^x + \sqrt{1 + e^{2x}}$。
• 正确应用导数公式：对$\sqrt{1 + e^{2x}}$求导时，需两次应用链式法则。
• 化简技巧：将分子中的项通分后与分母约分，得到最简形式。

步骤1：外层函数求导
设$u = e^x + \sqrt{1 + e^{2x}}$，则$y = \ln(u)$。根据链式法则：
$y' = \frac{1}{u} \cdot u'$

步骤2：内层函数$u$求导
$u$由两部分组成：$e^x$和$\sqrt{1 + e^{2x}}$，分别求导后相加：

1. 第一项导数：$\frac{d}{dx} e^x = e^x$
2. 第二项导数：
   设$v = 1 + e^{2x}$，则$\sqrt{v} = v^{1/2}$，导数为：
   $\frac{1}{2}v^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}v = \frac{1}{2}(1 + e^{2x})^{-1/2} \cdot 2e^{2x} = \frac{e^{2x}}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$
   因此，$u' = e^x + \frac{e^{2x}}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$。

步骤3：代入并化简
将$u$和$u'$代入$y'$的表达式：
$y' = \frac{1}{e^x + \sqrt{1 + e^{2x}}} \cdot \left( e^x + \frac{e^{2x}}{\sqrt{1 + e^{2x}}} \right)$
通分合并分子：
$e^x + \frac{e^{2x}}{\sqrt{1 + e^{2x}}} = \frac{e^x \sqrt{1 + e^{2x}} + e^{2x}}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$
约分：分子与分母中的$\sqrt{1 + e^{2x}}$约去，最终得：
$y' = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$