[例3]设m,n均是正整数,则反常积分 (int )_(0)^1dfrac (sqrt [n]{{ln )^2(1-x)}}(sqrt [n]{x)}dx 的收敛性-|||-(A)仅与m的取值有关. (B)仅与n的取值有关.-|||-(C)与m,n的取值都有关. (D)与m,n的取值都无关.

考查要点：本题主要考查反常积分的收敛性判断，特别是积分在区间端点处的奇点分析。需要结合变量替换、比较判别法以及Gamma函数的知识进行判断。

解题核心思路：

1. 拆分积分区间：将积分区间分为靠近0和靠近1的两部分，分别分析奇点处的收敛性。
2. 近似展开与比较判别法：在x趋近于0时，用泰勒展开近似被积函数，判断幂函数型积分的收敛性；在x趋近于1时，通过变量替换转化为Gamma函数形式，判断积分收敛性。
3. 关键结论：无论m和n取何正整数，积分在两个端点处均收敛，因此整体收敛性与m、n无关。

当x趋近于0时的分析

1. 近似展开：当x→0时，$\ln(1-x) \approx -x$，因此$\ln^2(1-x) \approx x^2$。
2. 被积函数近似：$\frac{[\ln^2(1-x)]^{1/n}}{x^{1/m}} \approx \frac{x^{2/n}}{x^{1/m}} = x^{2/n - 1/m}$。
3. 收敛性判别：积分$\int_0^a x^{k} dx$在x=0处收敛当且仅当$k > -1$。由于m,n为正整数，$2/n - 1/m \geq -1$恒成立，故积分在x=0处收敛。

当x趋近于1时的分析

1. 变量替换：令$t = 1 - x$，则当x→1时，$t \to 0$，积分变为$\int_0^a \frac{[\ln^2 t]^{1/n}}{(1-t)^{1/m}} dt$。
2. 近似分析：当t→0时，$\ln^2 t$增长缓慢，分母$(1-t)^{1/m} \approx 1$，被积函数近似为$[\ln^2 t]^{1/n}$。
3. Gamma函数判别：通过变量替换$u = -\ln t$，积分转化为$\int_0^\infty u^{2/n} e^{-u} du$，即Gamma函数$\Gamma(2/n + 1)$，恒收敛。

综合结论

积分在两个端点处均收敛，且与m、n的取值无关，故原积分收敛性与m、n无关。