设空间区域Omega由z=x^2+y^2及z=1所围成，则iiint_(Omega)zdx dy dz=A. (pi)/(2)B. (4)/(5)piC. (pi)/(3)D. pi

考查要点：本题主要考查三重积分在柱坐标系下的计算，以及空间区域的确定。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：由抛物面$z = x^2 + y^2$和平面$z = 1$围成的区域，需转换为柱坐标系，利用对称性简化计算。
2. 坐标系选择：柱坐标系下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元素为$r \, dz \, dr \, d\theta$。
3. 积分限分析：$\theta$遍历$0$到$2\pi$，$r$从$0$到$1$（由$z=1$确定），$z$从抛物面$r^2$到平面$1$。

破题关键点：

• 正确转换积分区域到柱坐标系，明确各变量的积分限。
• 分步积分：先对$z$积分，再对$r$，最后对$\theta$，逐步简化计算。

步骤1：转换坐标系与确定积分限

将积分区域$\Omega$转换为柱坐标系：

• $\theta$的范围：$0 \leq \theta \leq 2\pi$（全角度对称）。
• $r$的范围：抛物面$z = r^2$与平面$z = 1$相交于$r = 1$，故$0 \leq r \leq 1$。
• $z$的范围：从抛物面$z = r^2$到平面$z = 1$，即$r^2 \leq z \leq 1$。

步骤2：写出柱坐标下的积分表达式

三重积分转换为：
$\iiint_{\Omega} z \, dx \, dy \, dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{r^2}^{1} z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta$

步骤3：逐层积分

1. 对$z$积分：
   $\int_{r^2}^{1} z \, dz = \frac{1}{2} \left[ z^2 \right]_{r^2}^{1} = \frac{1}{2} \left( 1 - r^4 \right)$

2. 对$r$积分：
   $\int_{0}^{1} \frac{1 - r^4}{2} \cdot r \, dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (r - r^5) \, dr = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{6}$

3. 对$\theta$积分：
   $\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{6} \, d\theta = \frac{1}{6} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{3}$