题目
地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R，引力常量为G，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为多少？
地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R，引力常量为G，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为多少？
题目解答
答案
地球围绕太阳运动，万有引力提供向心力，故：$${{GMm}\over{R²}} ={{mv²}\over{R} }$$，$$v²={{GM}\over{R} }$$，所以，地球的轨道角动量$$L=R×mv=mR\sqrt{{ GM}\over{R} }=m\sqrt{GMR} $$
解析
步骤 1：确定地球绕太阳运动的向心力
地球绕太阳作圆周运动，太阳对地球的引力提供向心力。根据万有引力定律，太阳对地球的引力为：$${{GMm}\over{R²}}$$，其中G为引力常量，M为太阳的质量，m为地球的质量，R为地心与日心的距离。
步骤 2：确定地球绕太阳运动的线速度
根据向心力公式，向心力等于质量乘以速度的平方除以半径，即：$${{mv²}\over{R} }$$。将步骤1中的引力表达式与向心力公式等价，得到：$${{GMm}\over{R²}} ={{mv²}\over{R} }$$。解此方程得到地球绕太阳运动的线速度：$$v²={{GM}\over{R} }$$。
步骤 3：计算地球绕太阳运动的轨道角动量
轨道角动量L定义为位置矢量与动量矢量的叉乘，即：$$L=r×p$$。对于地球绕太阳的圆周运动，位置矢量r的大小等于轨道半径R，动量p等于质量m乘以速度v。因此，地球的轨道角动量为：$$L=R×mv=mR\sqrt{{ GM}\over{R} }=m\sqrt{GMR}$$。
地球绕太阳作圆周运动，太阳对地球的引力提供向心力。根据万有引力定律，太阳对地球的引力为：$${{GMm}\over{R²}}$$，其中G为引力常量，M为太阳的质量，m为地球的质量，R为地心与日心的距离。
步骤 2：确定地球绕太阳运动的线速度
根据向心力公式，向心力等于质量乘以速度的平方除以半径，即：$${{mv²}\over{R} }$$。将步骤1中的引力表达式与向心力公式等价，得到：$${{GMm}\over{R²}} ={{mv²}\over{R} }$$。解此方程得到地球绕太阳运动的线速度：$$v²={{GM}\over{R} }$$。
步骤 3：计算地球绕太阳运动的轨道角动量
轨道角动量L定义为位置矢量与动量矢量的叉乘，即：$$L=r×p$$。对于地球绕太阳的圆周运动，位置矢量r的大小等于轨道半径R，动量p等于质量m乘以速度v。因此，地球的轨道角动量为：$$L=R×mv=mR\sqrt{{ GM}\over{R} }=m\sqrt{GMR}$$。