题目
14. (15.0分) (三重积分的计算)计算 iiintlimits_(V)(x^2+y^2+z)dx dy dz，其中V是由 }z=yx=0 绕z轴旋转一周而成的曲面与z=1所围 的区域。
14. (15.0分) (三重积分的计算)计算
$\iiint\limits_{V}(x^{2}+y^{2}+z)dx dy dz$，其中V是由
$\begin{cases}z=y\\x=0\end{cases}$ 绕z轴旋转一周而成的曲面与z=1所围
的区域。
题目解答
答案
为了计算三重积分 $\iiint\limits_{V}(x^{2}+y^{2}+z)dx dy dz$，其中 $V$ 是由 $z = y$ 和 $x = 0$ 绕 $z$-轴旋转一周而成的曲面与 $z = 1$ 所围的区域，我们首先需要确定区域 $V$ 的形状。由 $z = y$ 和 $x = 0$ 绕 $z$-轴旋转一周而成的曲面是 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$。因此，区域 $V$ 是由 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $z = 1$ 所围成的。
在柱坐标系中，$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，$z = z$，且 $dx \, dy \, dz = r \, dr \, d\theta \, dz$。区域 $V$ 在柱坐标系中表示为 $0 \leq r \leq z$，$0 \leq z \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
被积函数 $x^2 + y^2 + z$ 在柱坐标系中变为 $r^2 + z$。因此，三重积分变为：
\[
\iiint\limits_{V}(x^{2}+y^{2}+z)dx dy dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{z} (r^2 + z) r \, dr \, dz \, d\theta.
\]
我们首先对 $r$ 积分：
\[
\int_{0}^{z} (r^2 + z) r \, dr = \int_{0}^{z} (r^3 + zr) \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} + \frac{zr^2}{2} \right]_{0}^{z} = \frac{z^4}{4} + \frac{z^3}{2}.
\]
接下来，我们对 $z$ 积分：
\[
\int_{0}^{1} \left( \frac{z^4}{4} + \frac{z^3}{2} \right) dz = \left[ \frac{z^5}{20} + \frac{z^4}{8} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{20} + \frac{1}{8} = \frac{2}{40} + \frac{5}{40} = \frac{7}{40}.
\]
最后，我们对 $\theta$ 积分：
\[
\int_{0}^{2\pi} \frac{7}{40} \, d\theta = \frac{7}{40} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{7}{40} \cdot 2\pi = \frac{7\pi}{20}.
\]
因此，三重积分的值是 $\boxed{\frac{7\pi}{20}}$。
解析
步骤 1：确定积分区域
由 $z = y$ 和 $x = 0$ 绕 $z$-轴旋转一周而成的曲面是 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$。因此，区域 $V$ 是由 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $z = 1$ 所围成的。在柱坐标系中，$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，$z = z$，且 $dx \, dy \, dz = r \, dr \, d\theta \, dz$。区域 $V$ 在柱坐标系中表示为 $0 \leq r \leq z$，$0 \leq z \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
步骤 2：转换被积函数
被积函数 $x^2 + y^2 + z$ 在柱坐标系中变为 $r^2 + z$。因此，三重积分变为： \[ \iiint\limits_{V}(x^{2}+y^{2}+z)dx dy dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{z} (r^2 + z) r \, dr \, dz \, d\theta. \]
步骤 3：计算三重积分
我们首先对 $r$ 积分： \[ \int_{0}^{z} (r^2 + z) r \, dr = \int_{0}^{z} (r^3 + zr) \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} + \frac{zr^2}{2} \right]_{0}^{z} = \frac{z^4}{4} + \frac{z^3}{2}. \] 接下来，我们对 $z$ 积分： \[ \int_{0}^{1} \left( \frac{z^4}{4} + \frac{z^3}{2} \right) dz = \left[ \frac{z^5}{20} + \frac{z^4}{8} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{20} + \frac{1}{8} = \frac{2}{40} + \frac{5}{40} = \frac{7}{40}. \] 最后，我们对 $\theta$ 积分： \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{7}{40} \, d\theta = \frac{7}{40} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{7}{40} \cdot 2\pi = \frac{7\pi}{20}. \]
由 $z = y$ 和 $x = 0$ 绕 $z$-轴旋转一周而成的曲面是 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$。因此，区域 $V$ 是由 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $z = 1$ 所围成的。在柱坐标系中，$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，$z = z$，且 $dx \, dy \, dz = r \, dr \, d\theta \, dz$。区域 $V$ 在柱坐标系中表示为 $0 \leq r \leq z$，$0 \leq z \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
步骤 2：转换被积函数
被积函数 $x^2 + y^2 + z$ 在柱坐标系中变为 $r^2 + z$。因此，三重积分变为： \[ \iiint\limits_{V}(x^{2}+y^{2}+z)dx dy dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{z} (r^2 + z) r \, dr \, dz \, d\theta. \]
步骤 3：计算三重积分
我们首先对 $r$ 积分： \[ \int_{0}^{z} (r^2 + z) r \, dr = \int_{0}^{z} (r^3 + zr) \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} + \frac{zr^2}{2} \right]_{0}^{z} = \frac{z^4}{4} + \frac{z^3}{2}. \] 接下来，我们对 $z$ 积分： \[ \int_{0}^{1} \left( \frac{z^4}{4} + \frac{z^3}{2} \right) dz = \left[ \frac{z^5}{20} + \frac{z^4}{8} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{20} + \frac{1}{8} = \frac{2}{40} + \frac{5}{40} = \frac{7}{40}. \] 最后，我们对 $\theta$ 积分： \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{7}{40} \, d\theta = \frac{7}{40} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{7}{40} \cdot 2\pi = \frac{7\pi}{20}. \]