关于向量组_(1)=((1,2,1,3))^T,_(1)=((1,2,1,3))^T,以下说法错误的是（ ）A _(1)=((1,2,1,3))^T,是_(1)=((1,2,1,3))^T,的一个极大无关组B _(1)=((1,2,1,3))^T,是_(1)=((1,2,1,3))^T,的一个极大无关组C _(1)=((1,2,1,3))^T,线性相关D _(1)=((1,2,1,3))^T,线性相关

考查要点：本题主要考查向量组的线性相关性、极大无关组及秩的概念。
解题思路：

1. 构造矩阵：将向量组作为列向量构成矩阵，通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，确定向量组的秩。
2. 判断极大无关组：非零行首非零元对应的列向量构成极大无关组。
3. 验证选项：结合秩的性质，逐一分析选项的正确性。

破题关键：

• 秩的计算：通过行变换确定向量组的秩，进而判断线性相关性。
• 极大无关组的判定：极大无关组的秩等于向量组的秩，且其对应的列向量线性无关。

构造矩阵：
将向量组 $a_1, a_2, a_3$ 作为列向量构成矩阵 $A$：
$A = \begin{pmatrix}1 & 4 & 1 \\2 & -1 & -3 \\1 & -5 & -4 \\3 & -6 & -7\end{pmatrix}$

初等行变换：

1. $r_2 - 2r_1 \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -9 & -5 \end{pmatrix}$
2. $r_3 - r_1 \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -9 & -5 \end{pmatrix}$
3. $r_4 - 3r_1 \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -18 & -10 \end{pmatrix}$
4. $r_3 - r_2 \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
5. $r_4 - 2r_2 \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

行阶梯形矩阵：
$\begin{pmatrix}1 & 4 & 1 \\0 & -9 & -5 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

结论：

• 秩为2：向量组 $a_1, a_2, a_3$ 的秩为2，故线性相关（选项D正确）。
• 极大无关组：首非零元在第1、2列，故 $a_1, a_2$ 或 $a_2, a_3$ 均为极大无关组（选项A、B正确）。
• 选项C分析：
  构造矩阵 $[a_1 \quad a_3]$，其秩为2（等于向量个数），故 $a_1, a_3$ 线性无关，选项C错误。