题目

1.设t()表示排列的逆序数，则t(23541)·[t(7564132)-t(631254)]=____A. 1B. 0C. 50D. 25

1.设t()表示排列的逆序数，则 $t(23541)·[t(7564132)-t(631254)]=____

A. 1

B. 0

C. 50

D. 25

题目解答

答案

C. 50

解析

逆序数是排列中的重要概念，指排列中较大数排在较小数前面的对数。本题需计算两个排列的逆序数之差，再与第三个排列的逆序数相乘。解题关键在于：

  1. 逐位计算逆序数：对每个数字，统计其后比它小的数字个数，累加所有结果。
  2. 注意细节：避免重复计数或遗漏，尤其注意排列长度较长时的耐心计算。

计算 $t(23541)$

排列：$2,3,5,4,1$

  • 第1位（2）：后有$3,5,4,1$，比2小的只有1 → 1逆序
  • 第2位（3）：后有$5,4,1$，比3小的只有1 → 1逆序
  • 第3位（5）：后有$4,1$ → 2逆序
  • 第4位（4）：后有$1$ → 1逆序
  • 第5位（1）：无后续数字 → 0逆序
    总逆序数：$1+1+2+1=5$

计算 $t(7564132)$

排列：$7,5,6,4,1,3,2$

  • 第1位（7）：后有$5,6,4,1,3,2$ → 6逆序
  • 第2位（5）：后有$4,1,3,2$ → 4逆序
  • 第3位（6）：后有$4,1,3,2$ → 4逆序
  • 第4位（4）：后有$1,3,2$ → 3逆序
  • 第5位（1）：无后续 → 0逆序
  • 第6位（3）：后有$2$ → 1逆序
  • 第7位（2）：无后续 → 0逆序
    总逆序数：$6+4+4+3+0+1+0=18$

计算 $t(631254)$

排列：$6,3,1,2,5,4$

  • 第1位（6）：后有$3,1,2,5,4$ → 5逆序
  • 第2位（3）：后有$1,2$ → 2逆序
  • 第3位（1）：无后续 → 0逆序
  • 第4位（2）：无后续 → 0逆序
  • 第5位（5）：后有$4$ → 1逆序
  • 第6位（4）：无后续 → 0逆序
    总逆序数：$5+2+0+0+1+0=8$

最终计算

$t(23541) \cdot [t(7564132) - t(631254)] = 5 \cdot (18 - 8) = 5 \cdot 10 = 50$