题目

【2015】9.不定积分int(cos2x)/(1+sin2x)dx=_____.

【2015】9.不定积分$\int\frac{\cos2x}{1+\sin2x}dx=$_____.

题目解答

答案

令 $u = 1 + \sin 2x$，则 $du = 2\cos 2x \, dx$，即 $\cos 2x \, dx = \frac{1}{2} du$。
代入原积分得：
$\int \frac{\cos 2x}{1 + \sin 2x} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| + C$
将 $u = 1 + \sin 2x$ 代回，得：
$\frac{1}{2} \ln |1 + \sin 2x| + C$
答案： $\boxed{\frac{1}{2} \ln |1 + \sin 2x| + C}$

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是利用换元积分法来求解。换元积分法的核心思想是通过引入一个新的变量，将复杂的积分转化为较为简单的积分形式。

对于不定积分$\int\frac{\cos2x}{1+\sin2x}dx$，我们观察到被积函数的分子$\cos2x$与分母$1 + \sin2x$存在一定的关系，分母$1 + \sin2x$的导数与分子$\cos2x$相关，所以可以考虑使用换元法。

  1. 换元：
    令$u = 1 + \sin 2x$，根据求导公式$(\sin ax)^\prime=a\cos ax$，对$u$求导可得$du = (1 + \sin 2x)^\prime dx=(0 + 2\cos 2x)dx = 2\cos 2x \, dx$，那么$\cos 2x \, dx = \frac{1}{2} du$。
  2. 代入原积分：
    将$u = 1 + \sin 2x$和$\cos 2x \, dx = \frac{1}{2} du$代入原积分$\int\frac{\cos2x}{1+\sin2x}dx$中，得到$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du$。
  3. 计算积分：
    根据积分的性质$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$（$k$为常数），$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du$。
    又因为$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$（$C$为积分常数），所以$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| + C$。
  4. 回代：
    将$u = 1 + \sin 2x$代回$\frac{1}{2} \ln |u| + C$中，得到$\frac{1}{2} \ln |1 + \sin 2x| + C$。