题目

若 n 阶矩阵 A ， B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则 () A. A 与 B 相似 B. A≠B ，但 |A−B|=0 C. A=B D. A 与 B 不一定相似，但 |A|=|B|

若 n 阶矩阵 A ， B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则 ()

A. A 与 B 相似
B. A≠B ，但 |A−B|=0
C. A=B
D. A 与 B 不一定相似，但 |A|=|B|

题目解答

答案

n 阶矩阵 A ， B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，

设其特征值为 λ1 ， λ2 ， … ， λn ，则 A ， B 均可对角化，

即存在可逆矩阵 P ， Q ，使得 PAP−1=diag(λ1,λ2,…,λn)=QBQ−1 ，

因此 A ， B 都相似于同一个对角矩阵 diag(λ1,λ2,…,λn) ，

所以， A 与 B 相似。

故选：A.

解析

步骤 1：特征值与特征向量
矩阵 A 和 B 有共同的特征值 λ1, λ2, ..., λn，且各有 n 个线性无关的特征向量。这意味着矩阵 A 和 B 都可以对角化，即存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAP−1 和 QBQ−1 都是对角矩阵，其对角线上的元素为特征值 λ1, λ2, ..., λn。

步骤 2：对角化矩阵
由于 A 和 B 有相同的特征值，所以它们可以对角化为同一个对角矩阵 D = diag(λ1, λ2, ..., λn)。即存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAP−1 = D 和 QBQ−1 = D。

步骤 3：相似矩阵
由于 PAP−1 = D 和 QBQ−1 = D，可以得出 PAP−1 = QBQ−1。因此，A 和 B 相似，即存在可逆矩阵 M = PQ−1，使得 A = MBM−1。