练习：某人在彩票37选7中，若假设买的7个号码中，中了指定的7个正选号码，则获得特等奖，若中了指定的7个正选号码中的六个，并中了另一个备选号码，则获得一等奖，若中了指定的7个正选号码中的六个，但没中另一个备选号码，则获得二等奖。(1) 若某人购买了一注彩票，试计算这个人中特等奖、一等奖、二等奖的概率。(2) 另若假设某期彩票共有 n 个人独立投注，每人一注，求 n 个人中至少有一人中特等奖的概率。

考查要点：本题主要考查组合概率计算及独立事件的概率应用，涉及排列组合的基本原理和对立事件的概率转换。

解题思路：

1. 特等奖、一等奖、二等奖的计算需明确中奖条件，分别对应全中正选号码、6正选+1备选、6正选+1非备选的情况，通过组合数公式计算各情况的可能数，再除以总组合数。
2. 至少一人中特等奖的概率可通过补集思想求解，即用1减去“所有人不中特等奖”的概率。

关键点：

• 总组合数为$\binom{37}{7}$，即从37个号码中选7个的组合数。
• 备选号码是独立于正选号码的1个特定号码，非备选号码数为$37-7-1=29$。

第（1）题

特等奖概率

• 条件：选中全部7个正选号码。
• 可能数：仅1种组合。
• 概率：$\frac{1}{\binom{37}{7}}$。

一等奖概率

• 条件：选中6个正选号码和1个备选号码。
• 可能数：从7个正选中选6个（$\binom{7}{6}$），备选号码固定1个。
• 概率：$\frac{\binom{7}{6} \times 1}{\binom{37}{7}} = \frac{7}{\binom{37}{7}}$。

二等奖概率

• 条件：选中6个正选号码和1个非备选号码。
• 可能数：从7个正选中选6个（$\binom{7}{6}$），非备选号码有29个（$37-7-1=29$）。
• 概率：$\frac{\binom{7}{6} \times 29}{\binom{37}{7}} = \frac{203}{\binom{37}{7}}$。

第（2）题

• 无人中特等奖的概率：$\left(1 - \frac{1}{\binom{37}{7}}\right)^n$。
• 至少一人中特等奖的概率：$1 - \left(1 - \frac{1}{\binom{37}{7}}\right)^n$，或等价表示为$1 - \left(\frac{\binom{37}{7} - 1}{\binom{37}{7}}\right)^n$。