题目
(2)(e^x+y-e^x)dx+(e^x+y+e^y)dy=0;
(2)$(e^{x+y}-e^{x})dx+(e^{x+y}+e^{y})dy=0;$
题目解答
答案
将原方程改写为：
\[
e^x(e^y - 1)dx + e^y(e^x + 1)dy = 0
\]
分离变量得：
\[
\frac{e^y}{e^y - 1}dy = -\frac{e^x}{e^x + 1}dx
\]
两边积分：
\[
\int \frac{e^y}{e^y - 1}dy = -\int \frac{e^x}{e^x + 1}dx
\]
利用换元法，令 $u = e^y$，$v = e^x$，则：
\[
\ln|e^y - 1| = -\ln|e^x + 1| + C
\]
整理得通解：
\[
\boxed{(e^y - 1)(e^x + 1) = C}
\]
其中，$C$ 为任意常数。
解析
本题考查一阶微分方程的求解，具体是可分离变量的微分方程的求解方法。解题思路如下：
- 首先对原方程进行变形，将其化为可以分离变量的形式。
- 把方程中的变量 $x$ 和 $y$ 分别分离到等式的两边。
- 对分离变量后的等式两边分别进行积分。
- 利用换元法简化积分计算。
- 最后对积分结果进行整理，得到方程的通解。
下面进行详细的解答：
- 变形方程：
已知原方程 $(e^{x + y}-e^{x})dx+(e^{x + y}+e^{y})dy = 0$，根据指数运算法则 $a^{m+n}=a^m\times a^n$，可将方程改写为：
$e^x(e^y - 1)dx + e^y(e^x + 1)dy = 0$ - 分离变量：
将上式移项，把含有 $x$ 的项和 $dx$ 放在等式一边，含有 $y$ 的项和 $dy$ 放在等式另一边，得到：
$\frac{e^y}{e^y - 1}dy = -\frac{e^x}{e^x + 1}dx$ - 两边积分：
对分离变量后的等式两边分别进行积分，即：
$\int \frac{e^y}{e^y - 1}dy = -\int \frac{e^x}{e^x + 1}dx$ - 换元积分：
- 对于左边的积分 $\int \frac{e^y}{e^y - 1}dy$，令 $u = e^y$，则 $du = e^y dy$，那么 $\int \frac{e^y}{e^y - 1}dy=\int \frac{du}{u - 1}$。
根据积分公式 $\int \frac{1}{t}dt=\ln|t|+C$，可得 $\int \frac{du}{u - 1}=\ln|u - 1|+C_1=\ln|e^y - 1|+C_1$。 - 对于右边的积分 $-\int \frac{e^x}{e^x + 1}dx$，令 $v = e^x$，则 $dv = e^x dx$，那么 $-\int \frac{e^x}{e^x + 1}dx=-\int \frac{dv}{v + 1}$。
同理可得 $-\int \frac{dv}{v + 1}=-\ln|v + 1|+C_2=-\ln|e^x + 1|+C_2$。
所以有 $\ln|e^y - 1| = -\ln|e^x + 1| + C$（$C = C_2 - C_1$ 为任意常数）。
- 对于左边的积分 $\int \frac{e^y}{e^y - 1}dy$，令 $u = e^y$，则 $du = e^y dy$，那么 $\int \frac{e^y}{e^y - 1}dy=\int \frac{du}{u - 1}$。
- 整理通解：
对 $\ln|e^y - 1| = -\ln|e^x + 1| + C$ 进行移项可得：
$\ln|e^y - 1|+\ln|e^x + 1| = C$
根据对数运算法则 $\ln a+\ln b=\ln(ab)$，则有：
$\ln|(e^y - 1)(e^x + 1)| = C$
去掉对数符号，得到通解：
$(e^y - 1)(e^x + 1) = C$