题目
(2)(e^x+y-e^x)dx+(e^x+y+e^y)dy=0;
(2)$(e^{x+y}-e^{x})dx+(e^{x+y}+e^{y})dy=0;$
题目解答
答案
将原方程改写为：
\[
e^x(e^y - 1)dx + e^y(e^x + 1)dy = 0
\]
分离变量得：
\[
\frac{e^y}{e^y - 1}dy = -\frac{e^x}{e^x + 1}dx
\]
两边积分：
\[
\int \frac{e^y}{e^y - 1}dy = -\int \frac{e^x}{e^x + 1}dx
\]
利用换元法，令 $u = e^y$，$v = e^x$，则：
\[
\ln|e^y - 1| = -\ln|e^x + 1| + C
\]
整理得通解：
\[
\boxed{(e^y - 1)(e^x + 1) = C}
\]
其中，$C$ 为任意常数。