题目
【例23】求极限lim_(xto0^+)(1-sqrt(cos x))/(x(1-cossqrt(x))).
【例23】求极限$\lim_{x\to0^{+}}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x(1-\cos\sqrt{x})}.$
题目解答
答案
将原式分子有理化，得
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{x(1 - \cos \sqrt{x})} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(1 - \sqrt{\cos x})(1 + \sqrt{\cos x})}{x(1 - \cos \sqrt{x})(1 + \sqrt{\cos x})} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{x(1 - \cos \sqrt{x})(1 + \sqrt{\cos x})}.$
利用等价无穷小代换，当 $x \to 0^+$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$1 - \cos \sqrt{x} \sim \frac{1}{2}x$，代入得
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x \cdot \frac{1}{2}x \cdot (1 + \sqrt{\cos x})} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1 + \sqrt{\cos x}} = \frac{1}{2}.$
答案： $\boxed{\frac{1}{2}}$
解析
本题考查极限的计算，解题思路是先对原式分子进行有理化，然后利用等价无穷小代换化简式子，最后求出极限值。
- 对原式分子进行有理化：
根据平方差公式$(a - b)(a + b b) = a^2 - b^2$，将原式分子$(1 - \sqrt{\cos x})(1 + \sqrt{\cos x})$展开可得$1 - \cos x$，则原式变为$\lim_{x \to 0^+} \frac{ \frac{(1 - \sqrt{\cos x})(1 + \sqrt{\cos x})}{x(1 - \cos \sqrt{x})(1 + \sqrt{\cos x})} \}$。 - 利用等价无穷小代换：
当$x \to 0^+ 0$时，$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$1 - \cos \sqrt{x} \sim \frac{1}{2}x$，将其代入上式可得$\lim_{x \ \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x \cdot \frac{1}{2}x \cdot (1 + \sqrt{\cos x})}$。 - 化简式子并求出极限值：
对$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x \cdot \frac{1}{2}x \cdot(1 + \sqrt{\cos x})}$进行化简，约去分子分母中的$x$可得$\lim_{x \to0^+} \frac{1}{1 + \sqrt{\cos x}}$。
将$x = 0$代入$\(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1 + \sqrt{\cos x}}$)可得$\frac{1}{1 + \sqrt{\cos 0}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$。