8.设 f(x)= ) (x)^2,0leqslant xlt 1 x,1leqslant xleqslant 2f(t)dt 在[0,2]上的表达式,并讨论φ(x)在-|||-(0,2)内的连续性.

步骤 1：确定积分区间
根据函数 f(x) 的定义，我们有：
- 当 0 ≤ x < 1 时，f(x) = x^2
- 当 1 ≤ x ≤ 2 时，f(x) = x

步骤 2：计算积分
我们需要计算 $\varphi (x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 在不同区间上的表达式。
- 当 0 ≤ x < 1 时，$\varphi (x)={\int }_{0}^{x}t^2dt = \left[\frac{1}{3}t^3\right]_0^x = \frac{1}{3}x^3$
- 当 1 ≤ x ≤ 2 时，$\varphi (x)={\int }_{0}^{1}t^2dt + {\int }_{1}^{x}tdt = \left[\frac{1}{3}t^3\right]_0^1 + \left[\frac{1}{2}t^2\right]_1^x = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}$

步骤 3：讨论连续性
我们需要检查 $\varphi (x)$ 在 x = 1 处的连续性。
- 当 x = 1 时，$\varphi (1) = \frac{1}{3}$
- 当 x = 1 时，$\varphi (1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

因此，$\varphi (x)$ 在 x = 1 处连续，从而在 (0,2) 内连续。